第三章 直线与方程知识点及典型例题.doc

第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度因此，倾斜角的取值范围是0≤α＜1802. 直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率直线的斜率常用k表示即k=tana斜率反映直线与轴的倾斜程度当直线l与x轴平行或重合时, α=0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, α= 90, k 不存在.当时，； 当时，； 当时，不存在xyoa1a2l1l2例.如右图，直线l1的倾斜角a=30，直线l1⊥l2，求直线l1和l2的斜率.解：k1=tan30= ∵l1⊥l2 ∴ k1k2 =—1∴k2 =—例：直线的倾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.30②过两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.设直线 l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m的值※三点共线的条件：假设所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线3. 直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1②斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：〔〕直线两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)④截矩式：其中直线与轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),即l与x轴、y轴的截距分别为a、b注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：或y=kx.⑤ 一般式：Ax+By+C=0〔A，B不全为0〕注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：平行于x轴的直线：〔b为常数〕； 平行于y轴的直线：〔a为常数〕； 例题：根据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点A(8，—2)； .(2)经过点B(4,2)，平行于x轴； .(3)在轴和轴上的截距分别是； .(4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)； .例1：直线的方程为Ax+By+C=0，假设直线经过原点且位于第二、四象限，那么〔 〕A．C=0，B>0 B．C=0，B>0，A>0 C．C=0，AB<0 D．C=0，AB>0例2：直线的方程为Ax—By—C=0，假设A、B、C满足AB.>0且BC<0，那么l直线不经的象限是〔 〕 A．第一 B．第二 C．第三 D．第四4. 两直线平行与垂直 当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

5. 两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)假设两直线相交，那么它们的交点坐标是方程组的一组解两条直线的交角：两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，那么有.假设方程组无解 ； 假设方程组有无数解与重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元素代数表示点P坐标P(xo，yo) 直线l方程Ax+By+C=0点P(xo，yo)在直线l上坐标满足方程：Ax+By+C=0点P(xo，yo)是l1、l2的交点坐标(xo，yo)满足方程组7. 两条直线的位置关系的断定公式A1B2—A2B1≠0方程组有唯一解两直线相交 或A1C2—A2C1 ≠ 0无解两直线平行 或A1C2—A2C1 = 0有无数个解两直线重合两条直线垂直的断定条件：当A1、B1、A2、B2满足 时l1⊥l2答：A1A2+B1B2=0经典例题；例1.两直线l1： x+(1+m) y =2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行解：例2. 两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值解：例3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y—2=0的交点坐标解：例4. 直线l的方程为，(1)求过点〔2，3〕且垂直于l的直线方程；(2)求过点〔2，3〕且平行于l的直线方程。

8. 两点间间隔 公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，那么|AB|=9. 点到直线间隔 公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的间隔 10. 两平行直线间隔 公式例：两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，那么l1与l2的间隔 为例1：求平行线l1：3x+ 4y —12=0与l2： ax+8y+11=0之间的间隔 例2：平行线l1：3x+2y —6=0与l2： 6x+4y—3=0，求与它们间隔 相等的平行线方程11. 直线系方程两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)假设两直线相交，那么过它们的交点直线方程可以表示为：l：A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2) =0或者l (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以例1：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为 m∈R)例2：求满足以下条件的直线方程(1) 经过点P(2，3)及两条直线l1： x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；(2) 经过两条直线l1： 2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行；(3) 经过两条直线l1： 2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直；解：12. 中点坐标公式：两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，那么线段的中点M坐标为(，)例. 点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。

13、对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的间隔 相等.②关于某直线对称的两条直线性质：假设两条直线平行，那么对称直线也平行，且两直线到对称直线间隔 相等.假设两条直线不平行，那么对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，那么中点在对称直线上〔方程①〕，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直〔方程②〕①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 例1：直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2). (1) 分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标(2) 分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3) 求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程4) 求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。

例2：点P(—1，—2)关于直线l： x+y—2=0的对称点的坐标为 例3：圆C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线x—y—1=0对称，那么圆C2的方程为： A. (x+2)2+(y—2)2=1 B. (x—2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x—2)2+(y—2)2=1[根底训练A组]一、选择题1．设直线的倾斜角为，且，那么满足〔 〕A． B． C． D．2．过点且垂直于直线 的直线方程为〔 〕A． B．C． D．3．过点和的直线与直线平行，那么的值为〔　　〕A． B． C． D．4．，那么直线通过〔 〕A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限5．直线的倾斜角和斜率分别是〔 〕A． B． C．，不存在 D．，不存在6．假设方程表示一条直线，那么实数满足〔 〕A． B． C． D．，，二、填空题1．点 到直线的间隔 是________________.2．直线假设与关于轴对称，那么的方程为__________;假设与关于轴对称，那么的方程为_________;假设与关于对称，那么的方程为___________;3． 假设原点在直线上的射影为，那么的方程为____________________。

4．点在直线上，那么的最小值是________________.5．直线过原点且平分的面积，假设平行四边形的两个顶点为，那么直线的方程为________________三、解答题1．直线， 〔1〕系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； 〔2〕系数满足什么关系时与坐标轴都相交； 〔3〕系数满足什么条件时只与x轴相交； 〔4〕系数满足什么条件时是x轴； 〔5〕设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．2．求经过直线的交点且平行于直线的直线方程3．经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？恳求出这些直线的方程4．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为．〔数学2必修〕第三章 直线与方程[综合训练B组]一、选择题1．点，那么线段的垂直平分线的方程是〔 〕A． B． C． 。