[初中数学]方位角与方向角问题教案-人教版.docx

《方位角与方向角问题》教案复习引入本节课将应用解直角三角形学问解决测量中的方位角问题． 探究新知（一）方位角与方向角1. 方向角老师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1 中的目标方向线 OA，OB，OC 分别表示北偏东 60°，南偏东 30°，北偏西 70°．特殊地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1 的目标方向线OD 与正南方向成 45°角，通常称为西南方向．图 28．2-1 图 28．2-22. 方位角老师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角． 如课本图 28．2-2 中，目标方向线PA，PB，PC 的方位角分别是 40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点老师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要 擅长将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角） 之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1. 审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2. 将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．假如没有现成是直角三角形可供使用，可通过作帮助线产生直角三角形，再把 条件和问题转化到这个直角三角形．3. 依据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、 角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解老师解释题意：如课本图28．2-8 所示，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东 65°方向， 距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处．这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到 0.01 海里）老师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4 相像．由于△APB 不是一个直角三角形， 所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP 与△PCB．PC 是东西走向的一条直线．AB是南北走向的始终线，所以 AB 与 PC 是相互垂直的，即∠ACP 与∠BDP 均为直角．再通过 65 度角与∠APC 互余的关系求∠APC；通过 34 度角与∠BPC 互余的关系求∠BPC．老师分析后要求同学自行做完这道题．同学做完后老师再加以总结并板书． 解：如课本图 28．2-8，在Rt△APC 中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在 Rt△BPC 中，∠B=34°，PC∵sinB= PB ，PC 72.8 72.8∴PB= sin B= sin 34° »0.559≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东 34°方向时，它距离灯塔P 大约 130.23 海里． 老师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时， 要依据实际状况机敏运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图 28．2-9 所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角α 和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα ．但是，当我们要测量如课本图28．2-10 所示的山高h 时， 问题就不那么简洁了．这是由于不能很便利地得到仰角α 和山坡长度L．图 28．2-9 图 28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图 28．2-11 表示其中一部分小段．划分小段时，留意使每一小段上的山坡近似是“直” 的，可以量出这段坡长L ，测出相应的仰角α ，这样就可以算出这段山坡的高度h =L sinα ．1 1 1图 28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h ，1h ，……．2然后我们再“积零为整”，把h ，h ，…相加，于是得到山高h．1 2以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第 95 页练习第 1 题、第 2 题． 课时总结利用解直角三角形的学问解决实际问题的一般过程是：1. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）．2. 依据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3. 得到数学问题的答案．4. 得到实际问题的答案． 教后反思:第 4 课时作业设计课本练习课本第 97 页习题 28．2 拓广探究第 9 题、第 10 题． 双基与中考一、选择题．1. 如图，轮船航行到C 处时，观测到小岛B 的方向是北偏西 35°，那么同时从B 观测到轮船的方向是（ ）．A. 南偏西 35° B．东偏西 35° C．南偏东 55° D．南偏东 35°(第 1 题) (第 5 题) (第 8 题)2. 身高相同的三个小朋友甲、 乙、 丙放风筝， 他们放出的线长分别是 300m，250m， 200m，线与地面所成的角分别为 30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（ ）．A. 甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高3333. 一日上午 8 时到 12 时，若太阳光线与地面所成角由 30°增大到 45°， 一棵树的高为 10m，则树在地面上影长h 的范围是（ ）．A．5104. △ABC 中，AB=6，AC=3，则∠B 最大值是（ ）．A．30° B．45° C．60° D．无法确定 5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽 6m，坝高 2m，斜坡 AB 的坡角为 45°， 斜坡CD 的坡度i=1：2，则坝底AD 的长为（ ）．333A．42m B．（30+24 ）m C．78m D．（30+8 ）m1cos A26. △ABC 中，已知+（tanB-）2=0 且 AB=4，则△ABC 的面积是（ ）．3A．4B．4 C．2D．237. 一渔船上的渔民在 A 处观察灯塔M 在北偏东 60°方向，这艘船以 28 海里/小时的速度向正东航行，半小时到B 处，在 B 处观察灯塔 M 在北偏东 15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ）．2A．7B．14C．7 D．1428. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时间线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC， 使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC 的宽度应为（ ）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m1.8C． sin 80D．1.8cot80°m9. 若菱形的边长为 4，它的一个内角为 126°，则较短的对角线长为（ ）．A．4sin54° B．4cos63° C．8sin27° D．8cos27°10. 如图，上午9 时，一条船从A 处动身以 20 海里/小时的速度向正北方向航行， 11时到达 B 处，从 A、B 望灯塔 C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从 B 处到灯塔 C 的距离是（ ）．A．20 海里 B．36 海里 C．72 海里 D．40 海里CNB北A (第 10 题) (第 11 题)11. 如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1 米高的直杆，量得其影长为 0.5 米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子 BD 长 3 米，落在墙上的影子 CD 的高为 2 米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高， 请你计算电线杆 AB 的高为（ ）．A．5 米 B．6 米 C．7 米 D．8 米二、填空题．12. 升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为 30°，若双眼离地面 1.5m，则旗杆高度为 m．（ 用含根号的式子表示）13. 在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向， 再向塔底前进a 米， 又测得塔尖的仰角为 60°，那么电视塔高为 ．．14如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD， 依据图示数据得下底宽AD= 米． (第 14 题) (第 15 题)15．如图△ABC 的顶点A、C 的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B= 3°0 ，则顶点B 的坐标是 ．16. 如图， 燕尾槽的外口宽 AD= 90mm， 深为 70mm， 燕尾角为 60 °， 则里口宽为 ．(第 16 题) (第 17 题)17. 如图，从高出海平面 500m 的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45 °和 30°， 假如这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为 ．三、解答题．18. 甲、乙两船同时从港口O 动身，甲船以16．1 海里/小时的速度向东偏南 35°方向航行，乙船向西偏南 58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A 处并观测到 B 处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到 0.1 海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19. 去年某省将地处A、B 两地的两所高校合并成了一所综合性高校， 为了便利A、B 两地师生的交往，学校预备在相距 2 千米的A、B 两地之间修筑一条笔直大路（图中的线段 AB）， 经测量，在A 地的北偏东 60°方向，B 地的北偏西 45°方向的C 处有一个半径为 0.7 千米的公园，问计算修筑的这条大路会不会穿出公园？为什么？答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D 11．D二、12．83 33+ 13．a 米 14．29.2 15．（3+4 ，3 ）16．（90+3332 2140 333 ）mm 17．500（1+ ）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由 B 在 A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．OB又∵在Rt△AOB 中，tanA= OA ，∴OB=OA·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．OB∴v= 2=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为 10.0 海里/小时．319．过点C 作 CD⊥。