第三章中值定理习题课讲义教材.ppt

习 题 课洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用一、主要内容1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、洛必达法则关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 .注意：洛必达法则的使用条件.6、导数的应用(1) 函数单调性的判定法(2) 函数的极值及其求法极值必要条件、第一、第二充分条件求极值的步骤:(3) 最大值、最小值问题(4) 曲线的凹凸与拐点(5) 函数图形的描绘(6) 弧微分 曲率 曲率圆 例1解二、典型例题这就验证了命题的正确性.例2Darboux定理:证首先假定不妨设如右图所示oyxab由假设知由右方邻近，有由左侧邻近，有由 Fermat 定理,得其次，取介于之间的任意数 C为明确起见，不妨设引进辅助函数由上述已证知例3 证明方程在(0,1)内至少有一实根分析 如令则的符号不易判别不便使用介值定理用 Rolle 定理来证证令则且故由Rolle 定理知即在(0,1)内有一实根例4证满足Rolle 定理的条件例5解例6解例7例8证由介值定理,（1）（2）注意到由（1）, （2）有（3）（4）（3）+ （4）,得例9问方程有几个实根解同时也是最大值分三种情况讨论由于方程有两个实根，分别位于方程仅有一个实根，即方程无实根例10证（1）（2）（1） （2）,则有例11解若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为例12解奇函数列表如下:极大值拐点极小值作图例13 Rolle 定理的推广形式证由Rolle 定理知证一则由题设知故由知而证二若则结论显然成立下设不妨设有必存在最大值M即故由Fermat 定理知证一类似于证一，作变换证二作变换证三 若则结论显然成立下设不妨设有必存在最小值m即故由Fermat 定理知证明与类似例14证不妨设由Lagrange定理，有得注这个结论其实就是 Jensen 不等式(n=2的情况)其几何意义，如下图所示oxyAB弦AB的方程则弦AB上相应于x0的纵坐标为凹弧：曲线上的点低于弦上的对应点。