带标准答案对数与对数函数经典例题(DOC 10页).doc

经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用　　1．将下列指数式与对数式互化： 　　(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).　　思路点拨：运用对数的定义进行互化.　　解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；　　　　(6).　　总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：　　(1) (2) (3)lg100=x (4)　　思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.　　解：(1)；　　　　(2)；　　　　(3)10x=100=102，于是x=2；　　　　(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值　　2．求值： 　解：.　　总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：　　【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)　　思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.　　解：.类型三、积、商、幂的对数　　3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. 　　(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15　　解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a　　　　(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b　　　　(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：　　【变式1】求值　　(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 　　解：　　(1)　　　 　　(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1　　(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2　　　 　　=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.　　【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.　　解：由3a=c得：　　　　同理可得　　　　.　　【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.　　证明：　　　　　　　　.　　【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.　　证明：∵ a2+b2=7ab， ∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， ∴ lg(a+b)2=lg(9ab)，　　　　　∵ a>0，b>0， ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb　　　　　即 .类型四、换底公式的运用　　4．(1)已知logxy=a， 用a表示； 　　　　　　(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.　　解：(1)原式=；　　　　(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.　　方法一：am=x， bn=x， cp=x　　　　　　∴， 　　　　　　∴ ；　　方法二：.　　举一反三：　　【变式1】求值：(1)；(2)；(3).　　解：　　(1)　 　　(2)；　　(3)法一：　　　 法二：.　　总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用　　5．求值　　(1) log89·log2732　　(2)　　(3)　　(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)　　解：(1)原式=.　　　　(2)原式=　　　　(3)原式=　　　　(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)　　　　　　　 　　举一反三：　　【变式1】求值：　　解：　　另解：设 =m (m>0).∴ ，　　　　　∴ ，∴ ，　　　　　∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.　　【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?　　解：∵ ∴，　　　　类型六、函数的定义域、值域　　求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.　　6. 求下列函数的定义域： 　　(1)； (2).　　思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.　　解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；　　　　(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.　　举一反三：　　【变式1】求下列函数的定义域.　　(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).　　解：(1)因为， 所以，　　　　　 所以函数的定义域为(1，)(，2).　　　　(2)因为 ax-k·2x>0， 所以()x>k.　　　　　 [1]当k≤0时，定义域为R；　　　　　 [2]当k>0时，　　　　　 (i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；　　　　　 (ii)若00且a≠1)　　思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.　　(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，　　　　　　　所以，log23.4log0.32.7；　　(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.　　　 解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1loga5.9　　　 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，　　　　　　　令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则　　　　　　　当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9　　　　　　　所以，b1b2，即.　　举一反三：　　【变式1】（2011 天津理 7）已知则（ ）　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．　　解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，　　　　　由图像可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　又∵为单调递增函数，　∴ 　故选C.　　9. 证明函数上是增函数. 　　思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.　　证明：设，且x10且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.　　解：设t=logax(x∈R+， t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t11， ∴ f(t1)1或00，即-10的解集为R，这是不等式中的常规问题.　　f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是。