通信原理期末复习资料.docx

1 / 24一、绪论1、通信系统分类：调制方式（基带传输系统、带通传输系统） ，信号特征（模 拟通信系统、数字通信系统） ，传输媒质（有线通信系统、无线通信系统） ，信 号复用方式（频分复用 FDM、时分复用 TDM、码分复用 CDM） 2、信息量 ：消息中所含信息的多少下式中 a 为进制，信息 x 出现的概率为𝐼P(x)如果 a=2，即二进制，则信息的单位为比特（bit，简记为小写 b） 𝐼 =‒ log𝑎𝑃(𝑥)3、平均信息量：又叫“信息熵” ，单位（b/符号） 对于有 M 个符号组成的H(𝑥)集合，其中每个符号出现的概率为则平均每个符号的x𝑖(𝑖 = 1,2,3,…,𝑀)𝑃(𝑥𝑖)所含的信息量为：𝐻(𝑥)=‒ 𝑃(𝑥1)·log𝑎𝑃(𝑥1)‒ 𝑃(𝑥2)·log𝑎𝑃(𝑥2)… ‒ 𝑃(𝑥𝑀)·log𝑎𝑃(𝑥𝑀)=‒𝑀∑ 𝑖 = 1𝑃(𝑥𝑖)·log𝑎𝑃(𝑥𝑖)4、通信系统主要性能指标：涉及有效性、可靠性、适应性、经济性、标准型、 可维护性等对于数字通信系统，有效性主要指传码率、传信率和频带利RBRb用率 ；可靠性主要指误码率、误信率。

对于模拟通信系统，有效性主要指𝜂𝑃𝑒𝑃b频带宽度 ；可靠性主要指输出信噪比𝐵S𝑜/𝑁𝑜5、码元传输速率：又叫“传码率” ，单位时间传送码元的数目，单位为波特RB（Baud） ，简记为大写B若每个码元的长度为T秒，则：RB=1 𝑇 (𝐵) 6、信息传输速率：又叫“传信率”或“比特率” 单位时间内传递的平均信Rb息量或比特数，单位为比特/秒（bps 或 b/s） 对于 M 进制的传输，传信率和传 码率可以如下换算： R𝑏= 𝑅𝐵log2𝑀 7、频带利用率 ：单位带宽内的传输速率对于某一带宽为 B 的信道，其间传𝜂码率传码率或传信率与频带利用率的关系为：𝜂 =RB𝐵（𝐵/𝐻𝑧）𝜂𝑏=R𝑏𝐵（𝑏𝑝𝑠/𝐻𝑧）8、误码率：错误接收的码元数在传输总码元数中所占的比例或者说是码元𝑃𝑒在传输系统中被传错的概率𝑃𝑒=传错码元数传输总码元数 9、误信率：又称误比特率，错误接收的比特数在传输总比特数中所占的比例𝑃b2 / 24𝑃b=传误比特数传输总比特数 例题 1.1 已知某四进制数字传输系统的比特率为 2400bps，接收端在 0.5h 内共收到 216 个错误码元，试计算该系统的误码率。

解 1.1 单位时间传送码元的数目（即传码率） RB= R𝑏/log2𝑀 = 2400/2 𝐵 = 1200 𝐵 则总共发送的码元数为1200 𝐵 × 0.5 ℎ = 1200 ∗ 1800 = 2160000𝑃𝑒=216 2160000= 10‒ 4注意误码率和误比特率之间不能直接换算如上题中的四进制系统，传输四进 制（四个不同的码元）需要 2 比特（00,01,10,11） ，对于每一个码元中的 2 比 特，只要有 1 比特误传，即认为该码元传错因此对于 4 进制系统，错传 x 个 码元，至少误传 x 个比特（1 误码中错 1 比特） ，至多误传 2x 个比特（1 误码中 2 比特都错） 其他进制类推 二、确知信号1、功率与功率信号：电流在单位电阻上单位时间消耗的能量因此功率等1Ω于电流或电压的平方凡是能用下式求出平均功率的信号就是功率信号s（t） （其能量总和为无穷大） 𝑃 = 𝑉2/𝑅 = 𝐼2𝑅 = 𝑉2= 𝐼2 (𝑊)𝑃 = lim 𝑇→∞1 𝑇∫𝑇 2-𝑇 2𝑠2(𝑡)𝑑𝑡2、能量与能量信号：能量是信号瞬时功率的积分。

若信号瞬时功率在所有时间 上的积分为一个有限只，则该信号为能量信号（否则为功率信号）0 、时，功率信号的自相关函数为信号的平均功率：𝜏 = 0𝑅(0)𝑅(0) =∫+ ∞‒ ∞𝑠2(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑃2>、自相关函函数是偶函数，即：𝑅(𝜏)𝑅(𝜏) = 𝑅( ‒ 𝜏) 3>、功率信号的自相关函数的傅里叶变换为功率谱密度，即𝑅(𝜏)：𝐹{𝑅(𝜏)} = P（f）P（f） =∫+ ∞‒ ∞𝑅(𝜏)𝑒‒ 𝑗2𝜋𝑓𝜏𝑑𝜏𝑅(𝜏) =∫+ ∞‒ ∞𝑃(𝑓)𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓 例 2.1 判断宽度为 高度为 A 的矩形脉冲的信号类型并求出其功率谱密度或能𝜏量谱密度 解 2.1 该信号的表达式为：𝑠(𝑡) ={𝐴, ‒𝜏 2 ≤ 𝑡 ≤𝜏 2 0, 𝑒𝑙𝑠𝑒?信号的功率对时间求积分：E =∫+ ∞‒ ∞𝑠2(𝑡)𝑑𝑡 =∫+ 𝜏 2‒ 𝜏 2A2 𝑑𝑡 = 𝐴2𝜏为一有限值，故矩形脉冲信号为能量信号，其频谱密度𝑆(𝑓)= 𝐴 ∫+ 𝜏 2‒ 𝜏 2𝑒‒ 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 =𝐴 ‒ 𝑗2𝜋𝑓(𝑒‒ 𝑗2𝜋𝑓𝜏 2‒ 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝜏 2)=𝜏𝐴 2𝜋𝑓𝜏·sin (𝜋𝑓𝜏) = 𝜏𝐴𝑆𝑎 (𝜋𝑓𝜏)所以其能量谱密度 G（f） = |𝑆(𝑓)|2= 𝜏2𝐴2|𝑆𝑎(𝜋𝑓𝜏)|2例 2.2 求的自相关函数，并从自相关函数求其功率。

𝑠(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡解 2.2 其自相关函数为𝑅(𝜏)= lim𝑇→∞1 𝑇∫+ 𝑇 2‒ 𝑇 2𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡·𝐴𝑐𝑜𝑠（𝜔𝑡 + 𝜔𝜏）𝑑𝑡 = lim 𝑇→∞A2 2𝑇∫+ 𝑇 2‒ 𝑇 2cos (2𝜔𝑡 + 𝜔𝜏) + cos 𝜔𝜏𝑑𝑡= lim 𝑇→∞A2 2𝑇(∫+ 𝑇 2‒ 𝑇 2cos (2𝜔𝑡 + 𝜔𝜏)𝑑𝑡 +∫+ 𝑇 2‒ 𝑇 2cos 𝜔𝜏𝑑𝑡)= lim 𝑇→∞A2 2𝑇(0 + 𝑇cos 𝜔𝜏) = A2 2cos 𝜔𝜏5 / 24由 2.9 性质 1 得其功率：𝑃 = 𝑅(0) =A2 2三、随机过程1、随机过程分布函数：对于一个随机过程，在任意时刻时的随F(𝑥;𝑡)𝜉（𝑡）𝑡1机变量小于或等于某一数值的概率，称为随机过程𝜉（𝑡1）𝑥1𝑃[𝜉（𝑡1）≤ 𝑥1]的一维分布函数：𝜉（𝑡）F1(𝑥1;𝑡1)= 𝑃[𝜉（𝑡1）≤ 𝑥1]对于给定的任意时刻，则的 维分布函数定义为：𝑡1,𝑡2…𝑡𝑛𝜉（𝑡）𝑛F𝑛(𝑥1,𝑥2…𝑥𝑛;𝑡1,𝑡2…𝑡𝑛)= 𝑃[𝜉（𝑡1）≤ 𝑥1,𝜉（𝑡2）≤ 𝑥2…𝜉（𝑡𝑛）≤ 𝑥𝑛]2、随机过程概率密度：分布函数的对数值 的 维偏导即为随机过程的概f𝑓(𝑥)x𝑛 率密度。

∂𝑛F𝑛(𝑥1,𝑥2…𝑥𝑛;𝑡1,𝑡2…𝑡𝑛)∂𝑥1∂𝑥2…∂𝑥n= f𝑛(𝑥1,𝑥2…𝑥n;𝑡1,𝑡2…𝑡𝑛)3、均值（数学期望）：𝐸[𝜉（𝑡）] = ∫+ ∞ ‒ ∞𝑥𝑓1(𝑥,𝑡) 𝑑𝑥 = 𝑎(𝑡)4、方差：定义式为，常用计算:𝐷[𝜉（𝑡）] = 𝐸[(𝑎(𝑡) ‒ 𝜉（𝑡）)2]𝐷[𝜉（𝑡）] =∫+ ∞‒ ∞𝑥2𝑓1(𝑥,𝑡) 𝑑𝑥 ‒ 𝑎2(𝑡)自相关函数：定义式为：R（𝑡1,𝑡2）R(𝑡1,𝑡2)= 𝐸[𝜉（𝑡1）𝜉（𝑡2）]=∬+ ∞‒ ∞𝑥1𝑥2𝑓2(𝑥1,𝑥2;𝑡1,𝑡2) 𝑑𝑥1𝑑𝑥25、严平稳随机过程：定义，随机过程的任意有限维分布函数与时间起点无关， 则认为该随机过程严平稳对于一维严平稳随f𝑛(𝑥1,𝑥2…𝑥n;𝑡1,𝑡2…𝑡𝑛)= f𝑛(𝑥1,𝑥2…𝑥n;𝑡1+ ∆,𝑡2+ ∆…𝑡𝑛+ ∆)机过程，其分布函数（概率密度）与时间无关，即；对于二𝑓1(𝑥1,𝑡1)= 𝑓1(𝑥1)维严平稳随机过程，其只与两个时间的间隔有关，即。

均值为一定值𝑓2(𝑥1,𝑥2;𝑡1,𝑡2)= 𝑓1(𝑥1,𝑥2;𝜏)𝐸[𝜉（𝑡）] = ∫+ ∞ ‒ ∞𝑥𝑓1(𝑥1) 𝑑𝑥 = 𝑎自相关函数R(𝑡1,𝑡2)= R(𝜏)6 / 246、广义平稳随机过程：仅满足 3.6 中最后两点的随机过程即均值是时间无关 的常数、自相关函数是仅与时间间隔有关的函数且𝑎 = 常数R(𝜏)7、平稳过程的自相关函数：，性质如下R(𝜏)R(𝜏) = 𝐸[𝜉（𝑡）𝜉（𝑡 + 𝜏）]1>、表示的平均功率R(𝜏) = 𝐸[𝜉2（𝑡）]𝜉（𝑡）2>、为偶函数R(𝜏) = R( ‒ 𝜏) 3>、有上边界|R(𝜏)| ≤ R(0)4>、表示的直流功率R(∞) = 𝐸2[𝜉（𝑡）] = 𝑎2𝜉（𝑡）5>、表示的交流功率R(0) ‒ R(∞) = 𝜎2𝜉（𝑡）8、平稳随机过程的功率谱密度：与 2.9 的性质 3 相同P𝜉（f） 𝐹{𝑅(𝜏)} = P𝜉（f）P𝜉（f） =∫+ ∞‒ ∞𝑅(𝜏)𝑒‒ 𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡9、高斯随机过程：如果随机过程的任意 维分布均服从正态分布，则称𝜉（𝑡）𝑛它为正态过程或高斯过程。

如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则概率密度函数将满足f𝑛(𝑥1,𝑥2…𝑥n;𝑡1,𝑡2…𝑡𝑛)= 𝑓(𝑥1,𝑡1)·𝑓(𝑥2,𝑡2)·…·𝑓(𝑥𝑛,𝑡𝑛)10、高斯随机变量：高斯随机变量服从正态分布， 为高斯随机变量的均值，𝑎为方差标准化的正态分布就是当，时的正态分布的概率密度𝜎2𝑎 = 0𝜎 = 1为：f(𝑥) =12𝜋exp[‒(𝑥 ‒ 𝑎)22𝜎2]正态分布函数即为概率密度的定积分，一般不好直接求所以要利用误差函数 来表示 11、误差函数：是一个增函数，且有，，erf (𝑥)erf (0) = 0erf (∞) = 1正态分布函erf ( ‒ 𝑥) = ‒ erf (𝑥)𝐹(𝑥) =1 2+1 2erf𝑥 ‒ 𝑎2𝜎此外，还有 互补误差函数，是一个减函数，且满足erfc (𝑥) = 1-erf （𝑥），，正态分布函数erfc (0) = ∞erfc (∞) = 0erfc ( ‒ 𝑥) = 2 ‒ erf (𝑥)当 x 较大时（一般大于 2 即可）就可以用近似式来计算：𝐹(𝑥) = 1 ‒1 2erfc𝑥 ‒ 𝑎2𝜎erfc （𝑥） ≈1𝑥 𝜋𝑒‒ 𝑥212、平稳随机过程通过线性系统：随机过程通过特性方程为的线𝜉𝑖（𝑡）𝐻（𝑓）性系统，输出，有如下性质：𝜉o（𝑡）1>、输出过程的均值，其中 为输入过程的均值。

𝐸[𝜉𝑜（𝑡）]= 𝑎·𝐻(0)𝑎𝜉𝑖（𝑡）2>、输出过程的自相关函数也仅与时间间隔有关，与时间点无关R𝑜(𝜏) = ∬+ ∞ ‒ ∞ℎ(𝛼)ℎ(𝛽)𝑅𝑖(𝜏 + 𝛼 ‒ 𝛽) 𝑑𝛼𝑑𝛽7 / 243>、输出过程的功率谱密度用此式计算比较方便然后𝑃𝑜(𝑓) = |𝐻(𝑓)|2𝑃𝑖(𝑓)逆傅里叶变换得到自相关函数 4>、高斯过程经过线性系统之后，输出的仍是高斯过程所以服从正态𝜉o（𝑡）分布13、窄带随机过程：表达式：窄带随机过𝜉（𝑡） = a𝜉(𝑡)cos[𝜔𝑐+ 𝜑𝜉 （𝑡）]程的包络服从瑞丽分布，相位服从均匀分布即：𝜉（𝑡）a𝜉(𝑡)𝜑𝜉 （𝑡）f（a𝜉）=a𝜉𝜎2𝜉exp[‒a2𝜉2𝜎2𝜉]a𝜉≥ 0𝑓(𝜑𝜉)=1 2𝜋 0 ≤ 𝜑�。