数学建模习题答案.docx

数学建模部分课后习题解答中国地质大学　　能源学院 华文静1．在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形,结论如何?解:模型假设（1） 椅子四条腿同样长,椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2） 地面高度是持续变化的,沿任何方向都不会浮现间断（没有像台阶那样的状况）,即从数学角度来看，地面是持续曲面这个假设相称于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同步着地为了保证这一点,规定对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的由于在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相称的范畴内，如果浮现深沟或凸峰(虽然是持续变化的），此时三只脚是无法同步着地的模型建立在上述假设下，解决问题的核心在于选择合适的变量，把椅子四只脚同步着地表达出来一方面,引入合适的变量来表达椅子位置的挪动生活经验告诉我们,要把椅子通过挪动放稳,一般有拖动或转动椅子两种措施，也就是数学上所说的平移与旋转变换然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,因此用平移的措施是不能解决问题的于是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形注意到椅脚连线呈长方形,长方形是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表达椅子位置的变化于是，旋转角度这一变量就表达了椅子的位置为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题设椅脚连线为长方形ABCＤ,以对角线AＣ所在的直线为x轴，对称中心O为原点,建立平面直角坐标系椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度后,长方形ABCD转至Ａ1B1C1Ｄ1的位置，这样就可以用旋转角表达出椅子绕点O旋转后的位置另一方面,把椅脚与否着地用数学形式表达出来当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了,而当这个距离不小于零时，椅脚不着地由于椅子在不同的位置是的函数,因此，椅脚与地面的竖直距离也是的函数由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是的函数,而由假设（３)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同步着地，即这四个函数对于任意的,其函数值至少有三个同步为０因此,只需引入两个距离函数即可考虑到长方形ABCD是对称中心图形,绕其对称中心Ｏ沿逆时针方向旋转180度后,长方形位置不变，但Ａ,C和Ｂ,D对换了因此，记A，B两脚与地面竖直距离之和为,C,D两脚之和为，其中，使得成立模型求解如果,那么结论成立如果不同步为零,不妨设这时,将长方形ＡBCD绕点O逆时针旋转角度后，点A,B分别于与C,D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变,由此可知,f(π)＝g（0),g(π）=f（0）．而由ｆ（０)>0，g（０）＝0,得ｇ(π)＞0,f（π）=0。

令h(θ）=f(θ)-g（θ)，由f（θ）和ｇ(θ)的持续性知ｈ（θ)也是持续函数 又,根据持续函数介值定理，必存在使得；又由于于是,椅子的四只脚同步着地,放稳了模型讨论用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是核心.本模型的巧妙之处就在于用变量θ表达椅子的位置,用θ的两个函数表达椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不仅可以确信椅子能在不平的地面上放稳，并且可以指引我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳.２． 人、狗、鸡、米均要过河,船需要人划,此外至多还能载一物，而当人不在时,狗要吃鸡,鸡要吃米问人、狗、鸡、米如何过河?模型假设人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸,船除了需要人划之外,只能载猫、鸡、米三者之一,人不在场时猫要吃鸡,鸡要吃米试设计一种安全过河方案，使渡河次数尽量地少符号阐明:代表人的状态,人在该左岸或船上取值为１,否则为0;：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为０；:代表鸡的状态,鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0；：代表米的状态,米在该左岸或船上取值为１，否则为0:;:状态向量,代表时刻K左岸的状态;:决策向量，代表时刻K船上的状态；模型建立限制条件：初始状态:模型求解根据乘法原理,四维向量共有种状况根据限制条件可以排除三种状况,其他13种状况可以归入两个集合进行分派,易知可行决策集仅有五个元素，状态集有8个元素,将其进行分派,共有两种运送方案：方案一：人先带鸡过河,然和人再回左岸,把米带过右岸,人再把鸡运回左岸,人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表１)；方案二：人先带鸡过河,然后人再回左岸,把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸,人再把米带过右岸,最后人回来把鸡带去右岸（状态见表2);目的:拟定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由表一：时刻左岸状态船上K=０K=1K=2K=3K=4Ｋ=5Ｋ=6K=7(１，1,1,1）(０，1，1,1）(1,1,0,1)（0，1,0,0)(１,1,1，0)(0，0，1，０）（1，０，１,0）（0,０，0,0）(0，０，0，0）(1，0,１，0)(1，0，０,0)（1，0,0，１)(1,0，1，0)(1，1,0，０)(1,0,0,0)（1,0,1，0)表二:时刻左岸状态船上K＝0K=1K=2Ｋ=３K=4K=5K=6K＝７(１,1，1,1）(0,１,０，１）（1，1,０，1）（0,0，0，1）(1,0,1,1)（0，0,1，０)(１,0,1，0)(0,0,0，0）(0,0,0,0）(1，0，1,0)（1,0,0,０)(1，1，０，0)(１，0，1，０)(1,０,0,1)(１,0，0，0)（1,0，1,0)3． 学校共10０0名学生,235人住在A宿舍，３33人住在B宿舍,4３2人住在Ｃ宿舍。

学生们要组织一种１0人的委员会，试用下列措施分派各宿舍的委员数：（1)按比例分派取整数的名额后,剩余的名额按惯例分给小数部分较大者．(２)2.１节中的Q值措施.(3）d’Hondt措施：　　将各宿舍的人数用正整数相除,其商数如下表：１ 　 　2 　 　 3 4 　　 　 ５ 　 …ABＣ235　 　 117.5　 　 　　78.3 　 　５8.7５ …333 　166.5 　 1１１ 　 8３.25 …4３2 　　　　２16 　　 　 144　 　 10８ 86．4　 将所得商数从大到小取前１0个（10为席位数）,在数字下标以横线,表中A,B,Ｃ行有横线的数分别为2,3，5,这就是3个宿舍分派席位.你能解释这种措施的道理吗如果委员会从10人增至1５人，用以上3种措施再分派名额.将3种措施两次分派的成果列表比较.(4）你能提出其她的措施吗.用你的措施分派上面的名额．解：先考虑N=10的分派方案，措施一(按比例分派）分派成果为:措施二（Q值措施)９个席位的分派成果(可用按比例分派）为:第１0个席位：计算Ｑ值为Q3最大，第1０个席位应给Ｃ.分派成果为措施三（d’Hondt措施）原理：记pi和ni为各宿舍的人数和席位(i＝1,2,3代表Ａ、B、C宿舍）,是每席位代表的人数，取=…，从而得到的中选较大者，可使对所有的i,尽量接近。

因此此措施的分派成果为：再考虑的分派方案，类似地可得名额分派成果现将3中措施两次分派额成果列表如下：宿舍（1） (２) 　 　(3）(1） (2） 　 （3)ABC3 　 2 　　　 　23 　 　 3 　 　 34 5 　　 　 5　 4 　 4　　 3　 5　 5　 　5 　6　 　 6 　 　7总计10　 　 　 1０ 　 　　1０　 １5 　　　　15　 154.　一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量予以奖励,俱乐部只准备了一把软尺用与测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的措施假设鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到了8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长）:身长(ｃm)36.8　　　31.8 　43.8 　 36.8 　　32．1 　 45.１ 35.9 32.1重量（g）756　 　 482 1162　　 737　 　 ４８2 　 1389 　 ６５2 　 4５4胸围（cm）２4.8 21.3 27.9 2４.８ 21.6 　31．８ 　 2２.9 21.6先用机理分析，再用数据拟定参数。

模型分析本题为了懂得鱼的重量,用估计法来通过估计鱼的长度而拟定鱼的重量,这种措施只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相似的东西，因此对于同一种类的鱼也有也许肥瘦不一因此在此，我们应当先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相似的模型假设（1） 设鱼的重量为；（2） 鱼的身长记为；模型的构成与求解由于我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相似,因此鱼的重量与身长的立方成正比，为这两者之间的比例系数即为比例系数但是常钓得较肥的垂钓者不一定承认上面的模型，由于它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是为比例系数运用题中给的数据，估计模型中的系数可得:将实际数据与模型成果比较如下表:实际重量（g）7６5 　482 　 1１62　 7３7 482 13８9 　 652 　 ４５4模型7２7 　 46９ 　 １2２6 　7２7 ４8３ 　133９ ６7５ ４83模型7３0　 4６5 　 1100 　 ７3０ 48３ 1４71 607 　483通过机理分析,基本上满意５．生物学家觉得,对于休息状态的热血动物消耗的能量重要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温重要通过身体表面散失，建立一种动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检查。

动物体重(ｇ） 　　　 　心率(次/分）田鼠家属兔小狗大狗羊人马25 　 　　 　 　 　 　　 　 　670200 　 　　　 　420 　 　 　 　2０550０0 　 　 　 　　 1２030000 　 　 　　 ８５５00００ 　 　 　　 7070000 　　 　 　 724５0000 　 　 　 　38解：动物消耗的能量重要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失,记动物体重为，则正比于血流量，而，其中是动物每次心跳泵出的血流量，为心率合理地假设与成正比，于是，综上可得由所给数据估计得，将实际数据与模型成果比较如下表:动物实际心率（次/分) 　 　　模型成果（次/分)田鼠家属兔小狗大狗羊人马670 　　 　 　 　 　 ７1５４2０　　　　 　 　 　 3７5２０5 　 　 　 　 　 　　 　 　 16612０ 　 　 　　 　　 　 　　 。