湖南十二校2013届高三第一次联考 数学（理）.doc

HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”湖南十二校2013届高三第一次联考数学（理）试题 由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中 石门一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中联合命题炎德文化审校、制作总分：150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置．1．已知i是虚数单位，且，则实数分别为 A．x=一1，y=l B．x=－1，y=2 C．x=1，y=l D．x=1，y=22．已知条件p：x≤1，条件q：<1，则是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体 积为，则h= A． B． C．3 D．5 4．已知各项均不为零的数列，定义向量·下列命题中真命题是 A．若对任意的，都有cn∥bn成立，则数列是筹差数列 B．若对任意的，都有cn∥bn成立，则数列是等比数列 C．若对任意的，都有cn⊥bn成立，则数列是等差数列 D．若对任意的，都有cn⊥bn成立，则数列是等比数列5．若下边的程序框图输出的S是126，则条件①可为 A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤86．若在直线上存在不同的三点A、B、C，使得关于x的方程有解（点O不在直线上），则此方程的解集为 A． B．{一1，0} C．{－1} D． 7．已知（其中以a、b为常数且），如果则，的值为 A．－3 B．－5 C．3 D．58．已知函数是偶函数，且，当 [0，2]时，，则方程在区间[－10,10]上的解的个数是 A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．（极坐标与参数方程）极点到直线的距离为 。

10．（几何证明选讲）如图，BC是半径为2的⊙O的直径， 点P茌BC的延长线上，PA是⊙O的切线，点A在 直径BC上的射影是OC的中点，则PB·PC= 11．（不等式证明选讲）若不等式的解集为，则实数a 的取值范围为 二）必做题（12 ～16题）12．已知集合则/ 13．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的 平均成绩的概率为 14．设F为双曲线的左焦点．过点F的直线与双曲线右支交于点P，与圆O：x2+ y2 =a2恰好切于线段PF的中点M，则双曲线的离心率为 15．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个 小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所 涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜 色，则符合条件的所有涂法共有 种．16．设数列满足：a1=1，a2=4，a3 =9，an=an－1+an－2－an－3，则：（1）a8= ，（2）a2013= 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） △ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，m=（2b －c，a），n=（cos A－cosC），且m⊥n． （1）求角A的大小； （2）当y= 2sin2 B+sin（2B十）取最大值时，求角B的大小．18．（本小题满分12分） 某研究小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：方式实施地点大雨 中雨小雨 摸拟试验总次数A甲4次6次2次2次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次 假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响． （1）求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率； （2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即能达到理想状态，乙地必须是大雨才能达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥S—ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD= 3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD． （1）证明：平面SBE⊥平面SEC; （2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．20．（本小题满分13分） 设等比数列的前n项和为Sn，已知 （1）求数列的通项公式； （2）在an与an+1，之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn．21．（本小题满分13分） 已知椭圆 的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ． （1）求椭圆C的方程； （2）已知动直线y=k(x+l）与椭圆C相交于A、B两点． ①若线段AB中点的横坐标为一，求斜率k的值； ②x轴上是否存在定点M，使·为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分13分） 已知函数· （1）若在/上的最大值为，求实数b的值； （2）若对任意x∈[1，e]，都有 恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．·12·。