最小相位系统性质证明.doc

总结最小相位延时系统(有时简称为最小相位系统)在通信 中有重要的地位，因而把它的一些重要性质归纳如下: ⑴在傅里叶变换HQ®)相同的所有系统中，最小相位 系统具有最小的相位滞后，即它有负的相位，相位 绝对值最小⑵按照帕塞瓦定理由于傅里叶变换幅度相同的各系 统的总能量应当相同，但最小相位延时系统hmin(n)的 能量集中在n=0附近，一般系统h(n)的能量则棗申汪 n>0处，也就是说，如果hmin(n), h(n)是N+2点有限长 序列(n=0, 1, N),则有：N 2 n 2S 仏("=S Mmin S)n = 0 w = 0X I力(巾)n = 0V 22 l^rnin S)| 皿 < TVn = 0⑶由上一条关系可得出，对相同傅里叶变换幅度 的各序列，最小相位序的hmjn（n）最大（可用初值定 理加以证明）：仏（0）＞力（0）⑷在幅度响应相同的系统中，只有唯一的一个最 小相位延时系统⑸利用级联全通函数的办法，可将最小相位系 统的零点反射到单位圆外，而构成幅度响应相 同的非最小相位延时系统性质(3)证明：按照题意，可以写岀：H(z) = Hap(z^Hm.m(z)当Z Tx时，利用初值定律可以得出：(0),Hmni (叽*=心(0)-1=nl-Jz 1 - a，z1 Z = s因此 m°)i=kn win 1^ 因为引<1,所以休in(0)>b(0)性质(2)证明:证明：令咕山)是Z变换为Hmin(Z)的一个最小相位序列。

而且，令Zk为Hmm⑵的一个零点，因此，可将Hmin(z) 表示为:Hmin(Z)= O(Z)(l— S < 1式中Q(z)也是最小相位的现在研究另一个序列h(n), 其z变换H⑵为：且H(z)有一个零点在z=l/zk*处，而不是在Zk处为了满足：6可使-1 *7 — 71-际因为Hmin ⑴=Q(Z)(1— SZ“)、 -1 *、所以 H (乙)=Q(z)(z - zk )N _\其中， Q(Z)=工 n = 0NH ⑵=工 h(n)z~" = Q(Z)(Z~1 一 Z；)n = 0N-l=工- Z^(n)z~"]n = 08N-l* . 、 * — >7 一=—Sg(O) + 丫 [g(〃 一 1) — zkq(n)]z + q(N - l)zn = \由于q(-l)=q(N)=0,因此NH (z)=工[q(n - 1) - ZVkq(n)]z~nft = O*故 h(n) = q(n - 1) - zkq(n)同样可得 NHmin ⑵=E Amin = Q( Z)(i ~ Z k Z~")n = 0N=工[q(n)z~" - Zkq(n)z~"~i]n = 0N-\=g(o)+ 工［q(〃)— -1)］厂n = \由于q(-l)=q(N)=O,因此NH = - zkq{n -n = 0故 力min(〃)= g(〃)- zkq(n - 1)当m WN时m 2 m艺 |〃min(“)| =艺［|心)n = 0 n = 0-q(N - \几厂1)］厂2 |2+ s q{n - 1)|-q{n}zkq (n - 1) - q (n)zkq(n - 1)］12m-工 |/z(n)n = 0m2 -工(1-n-0）b（〃 -1）|工|力（〃）| =工［|纟（巾—1）|n = 0 n-0* * *-q{n - l)zkq {n) - q\n - l)z^(n)] 注意到q(-l)=O及m 2=工 _ i)| + b(加)工 b(〃)n = 0可以得到ms = y \h . (M)Z / | min、 zn = 0m=工(1 -n = 02214所以：£ =(1- S 2)^(m)因为zk < L所以"(1— S当q(m)=O时，e=0,于是m 2 朋 2工 Kin(n)| —工 \h(n)\ n 0n=0 n=015#mE Kin 5)n = 0> 工 |/z(n) . m < Nn = 0#如果定义当n>N时，h(n)=hmin(n)=O,则上式对所 有m都成立。