相互似三角形六大证明技巧窍门.docx

互相似三角形六大证明技巧诀窍''第 2 讲 相像三角形 6 大证明技巧模块一 相像三角形证明方法相像三角形的判断方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其余两边订交，所组成的三角形与原三角形相像 .2. 三边成比率的两个三角形相像 . （ SSS）3. 两边成比率且夹角相等的两个三角形相像. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相像.(AA)5. 斜边和一条直角边成比率的两个直角三角形相像(HL)相像三角形的模型方法总结：“反 A”型与“反 X”型 . / 表示图AECDBBAOD C“类射影”与射影模型表示图ADC BCA H B结论反 A型：如图，已知△ ABC，∠ ADE =∠ C，则△ ADE ∽△ ACB （AA ），∴ AE·AC=AD ·AB.若连 CD、BE，从而能证明△ ACD ∽△ ABE (SAS)反X型：如图，已知角∠ BAO=∠ CDO ，则△ AOB∽△ DOC（ AA ），∴ OA·OC=OD ·OB. 若连 AD ，BC，从而能证明△ AOD∽△ BOC .结论类射影：如图，已知△ ABC，∠ ABD =∠ C，则△ ABD ∽△ ACB （AA ），∴ AB 2 =AD ·AC.射影定理如图，已知∠ ACB=90°， CH⊥ AB 于 H，则AC 2 AH AB,BC 2 BH BA,HC 2 HA HB“旋转相像”与“一线三等角”表示图结论A旋转相像：E如图，已知△ ABC∽△ ADE ，则 ABAD，BDACAE∠ BAC =∠DAE ，∴∠ BAD =∠CAE，C∴△ BAD∽△ CAE（ SAS）DE一线三等角：如图，已知∠ A=∠ C=∠DBE ，则△ DAB ∽△ BCEABC（AA ）稳固练习反 A型与反 X型已知 △ ABC 中，∠ AEF= ∠ ACB ，求证：（ 1） AE ABAFAC （2）∠ BEO= ∠ CFO ， ∠EBO= ∠ FCO（3）∠ OEF=∠ OBC，∠ OFE=∠ OCBAEFBOC类射影如图，已知 AB2AC AD ，求证： BDABBCACADCB射影定理已知△ ABC，∠ ACB=90°，CH⊥ AB 于 H，求证： AC2AHAB ， BC2BHBA ，HC 2HA HB14''模块二比率式的证明方法经过前面的学习，我们知道， 比率线段的证明， 离不开 “平行线模型”（ A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6 种“相像模型” . 可是，王老师以为， “模型”不过工具，如何选择工具，如何使用工具， 如何用好工具， 取决于我们如何思虑问题 .合理的思想方法， 能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比率式的证明中，会常常用到的思想技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型【例 1】 如图，平行四边形ABCD 中， E 是 AB 延伸线上的一点，DE交BC于F，求证：DCCF ．AEADDCFABE【例 2】 如图， △ ABC 中，BAC 90，M为BC的中点， DMBC 交 CA 的延伸线于D，交 AB于 E．求证： AM2MD MEDAEBMC3如图，在 Rt△ ABC 中， AD 是斜边 BC 上的高，ABC 的均分线 BE 交AC于 E ，【例 】交AD于F．求证： BFAB ．BEBCAEFBDC技巧二：等 段代 静静地替 比率式中的某条 段⋯4如 ，在 △ ABC，AD 均分∠ BAC，AD 的垂直均分 交AD 于 E，交 BC 的延 于【例 】2F，求 ： FD FB FCAEB D C F【例 5】如 ，四 形 ABCD 是平行四 形，点E在 BA的延 上， CE 交 AD 于 F ，ECAD ．求 ： AC BE CE AD ．DCFEA B【例 6】 如 ， △ ACB 等腰直角三角形， AB=AC，∠ BAC=90°，∠ DAE=45°，求 ：2AB BE CDAB D E C【例 7】如 ， △ ABC 中， ABAC，AD 是中 ， P是AD上一点， C作CF∥AB，延 BP交 AC 于 E，交CF 于 F ．求 ： BP2PE PF．AFEPB D C16''技巧三：等比代换8如图，平行四边形ABCD 中，过 B 作直线 AC 、 AD 于 O ， E 、交 CD 的延伸线【例 】2OE OF．于 F ，求证： OBFAEDOB C【例 9】如图，在 △ ABC 中，已知A 90时，ADBC 于 D ， E 为直角边 AC 的中点，过 D 、 E 作直线交 AB 的延伸线于 F ．求证： AB AF AC DF ．AEBCDF【例 10】如图，在 △ ABC 中（ AB ＞ AC）的边 AB 上取一点 D ，在边AD AE ，直线 DE 和 BC 的延伸线交于点 P ．求证： BP CEAC 上取一点CP BDE ，使AD EB C P技巧四：等积代换【例 11】 如图， △ ABC 中， BD 、 CE 是高， EHBC于H 、交 BD于G 、交 CA的延伸2线于 M ．求证： HE HG MH ．MAEDGBHC【例 12】 如图，在 △ ABC 中， ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F ，连 EF，求证：∠ AEF=∠ CAEFBDC【例 13】 如图，在 △ ABC 中， BAC90 ，D为AC 中点， AEBD ， E 为垂足，求证：CBDECD ．ADCEB【例 14】 在 Rt△ABC 中， AD⊥ BC， P 为 AD 中点， MN⊥ BC，求证 MN 2 AN NCANPB D M C18''技巧五：证等量先证等比【例 15】 已知，平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别在直线AD、 CD 上， EF//AC， BE、 BF分别交 AC 于 M、 N.，求证： AM=CN.AEDMFNBC【例 16】 已知如图 AB=AC， BD。