考研数学三真题2010年.doc

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．)(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．(2)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是对应的齐次方程的解，则(3)设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g "(x)＜0，若g(x0)=a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是(A) f'(a)＜0． (B) f'(a)＞0． (C) f " (a)＜0． (D) f " (a)＞0．(4)，则当x充分大时有(A) g(x)＜h(x)＜f(x)． (B)h(x)＜g(x)＜f(x)．(C) f(x)＜g(x)＜h(x)． (D)g(x)＜f(x)＜h(x)．(5)设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，β3线性表示，则下列命题正确的是(A) 若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s． (B) 若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．(C) 若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s． (D)若向量组Ⅱ线性相关，则，r＞s.(6)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A与A相似于(7)设随机变量X的分布函数(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1，3]上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足(A)2a+3b=4． (B)3a+2b=4． (C)a+b=1 (D)a+b=2．二、填空题(把答案填在题中横线上。

)(9)设可导函数y=y(x)由方程______.(10)设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______．(11)设某商品的收益函数为R(P)，收益弹性为1+P3，其中P为价格，且R(1)=1，则R(P)=______.(12)若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1，0)，则b=______．(13)设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______．(14)若X1，X2，…，Xn，为来自正态总体N(μ,σ2)(σ＞0)的简单随机样本，记统计量，则E(T)=______．三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15)(16)(17)求函数u=xy+2yz在约束条件x2++y2+z2=10下的最大值和最小值．(18)(19)设函数f(x)在闭区间[0，3]上连续，在开区间(0，3)内二阶可导，且(Ⅰ)证明存在η∈(0,2)，使得f(η)=f(0)；(Ⅱ)证明存在ζ∈(0,3)，使得f " (ζ)=0．(20)已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．(21)(22)设二维随机变量(X，y)的概率密度为求常数A以及条件概率密度f Y|X(y|x)．(23)箱中装有6个球，其中红、白、黑球个数分别为1，2，3，现从箱中随机地取出2个球，记X为取出红球的个数，Y为取出白球的个数．(Ⅰ)求随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)求Cov(X，Y)．参考解答一、选择题(1) C (2) A (3) B (4) C (5) A (6) D (7) C (8) A二、填空题(9)-1 (10) (11)(12)3 (13)3 (14)μ2+σ2三、解答题(15)分析：化为指数形式，用洛比达法则及等价无穷小替换．(16)分析：被积函数展开，利用二重积分的对称性．解：显然D关于x轴对称，且D=D1∪D2，其中评注：二重积分的对称性的考查一直是重要测试内容．(17)分析：本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法.评注：求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型。

18)分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限．评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．(19)分析：需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理证明：(Ⅰ)因f(x)在闭区间[0，2]上连续，由积分中值定理得，至少存在一点η∈(0，2)，使得又f(x)在闭区间[2，3]上连续，从而介于f(x)在[2，3]上的最大值与最小值之间，由介值定理知，至少存在一点γ∈[2，3]，使得f(y)=f(0)．因此f(x)在区间[0，η]，[η，γ]上都满足罗尔中值定理条件，于是至少存在点ζ1∈(0，η)，ζ2∈(η，γ)，有 f'(ζ1)=f'(ζ2)=0，由f(x)在[0O，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，知f'(x)在[ζ1，ζ2]上连续，在(ζ1，ζ2)可导，用罗尔中值定理，至少存在一点ζ∈(ζ1，ζ2)(0，3)，使得f''(ζ)=0．评注：一般地有如下结论：设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，(i=1，2，…，n)，(20)分析：本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解．解：(Ⅰ)解法一 由线性方程组Ax=b存在2个不同解，得λ=-1，a=-2．解法二由线性方程组Ax=b有2个不同的解，知r(A)=r(A|b)＜3，因此方程组的系数行列式得λ=1或-1；而当λ=1时，r(A)=1≠r(A|b)=2，此时，Ax=b无解，所以λ=-1．由r(A)=r(A|b)得a=-2．(Ⅱ)当λ=-1，a=-2时，故方程组Ax=b的通解为，k为任意常数．(21)分析：本题考查实对称矩阵的正交对角化问题．由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q．=(λ+4)(λ-2)(λ-5)=0得A的特征值为 λ1=2，λ2=-4，λ3=5，且对应于λ1=2的特征向量为由(-4E-A)x=0得对应于λ2=-4的特征向量为α2=(-1，0，1)T。

南(5E-A)x=0得对应于λ3=5的特征向量为α3=(1，-1，1)T．因A为实对称矩阵，α1，α2，α3为对应于不同特征值的特征向量，所以η1，η2，η3为单位正交向量组．令(22)分析：本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度．解：由联合概率密度的性质有(23)分析：本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征，第一问实际上为古典概率问题解：(Ⅰ)易知X的所有可能取值为0，1，Y的所有可能取值为O，1，2．{X=i，Y=j．}表示取到i个红球，j个白球．由古典概型得故二维随机变量(X，Y)的概率分布为。