华东师大04-06年数学分析考研试题及解答.doc

华东师范大学2004年数学分析考研试题一.（30分）计算题（1）求；（2）若求.（3）求.（4）求幂级数的和函数.（5）L为过和的曲线，求:（6）求曲面积分其中取上侧.二（30分）判别题（正确的证明，错误的举反例）1 .若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点2. 若在上连续有界，则在上一致连续.3. 若在上可积，则:4 .若收敛，则收敛.5.若在上定义的函数存在偏导数，且在上连续，则在上可微.6 .在上连续，，若则.三.（15分）函数在上连续且，求证：在上有最大值或最小值.四（15分）求证不等式：五（15分）设在上连续且在上一致收敛于,若,求证：使六（15分）设是实数序列，且满足：（1）其中；（2）级数收敛求证：.七（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界.八（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面恒有:求证： 华东师范大学2004数学分析考研试题及解答一、（30分）计算题1、求解： 2、若求.解：3、求.解：=--=4、求幂级数的和函数.解:时 =+ =-=5、为过和的曲线,求=+++ =6、求曲面积分,其中,取上侧.解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：==.二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点正确。

在数轴上对应的点集必有界无限的子点集，故由聚点定理，点集至少存在一个聚点2、若在上连续有界，则在上一致连续.解 错误 .反例在上连续,且有界,但在上不一致连续.3、若,在上可积，则.解 正确证：,在上可积，故对且在上也可积， ,故, .4、若收敛，则收敛.解 错误反例 收敛,但发散.5、若在上定义的函数存在偏导数, ,且,在(0,0)上连续，则在(0,0)上可微.解 正确.书上的定理证：==有,在(0,0)上连续，,当 时，， 根据定义，可知在(0,0)上可微.6、在上连续,, 若 则解： 正确. 用反证法,假若存在一点,使得,不妨设,则存在,使得在上有,于是,矛盾.三、（15分）函数在上连续，且 求证：在上有最大值或最小值证：1)若，显然在同时有最大、最小值.2)设不为常数,则, 使得 或, 当时,由函数在上连续，且知在上有界,当时, 在上 ,再由存在,当时,有,所以,由在上连续,所以在上连续，由最值定理知存在,使得最大.同理当时,在上有最小值结论得证.四、（15分）求证不等式:证：令, 则,对,有 , 因此 在上单调递减且连续, 又.故由介值定理知存在,使得 那么在上单调递增, 在上单调递减.因此可在端点处取得最小值, 又.所以在上, 即 五、设,在上连续,且在上一致收敛于.若,.求证:使,,证:由函数列的每一项在连续且一致收敛于,可知在上也连续,因此有界.不妨设 ,因为对任意,有 . 所以 在上一致收敛于,即对对有 当取 时,有对上述 则(1)式成立,且 六、（15分）设是实数序列，且满足：（1）其中；（2）级数收敛. 求证:.证： 由假设条件，对正整数，成立 ，，……………….,将上列诸不等式相加，得，由于级数收敛，所以，同样，于是 故有 。

七、（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界.证: 由函数在上一致连续，对,,对,且满足时,有 ,特别有,于是 ,()对任意,存在,使得,,故有,即得在上有界.八、（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面恒有,求证: ,有证明 记 在中,令,则有,于是进而,在中,令,则有,故 ,有华东师范大学2005年攻读硕士学位研究生入学试题一（24分）判断下列命题的真伪（正确就证明，错误举反例）1.的一个充要条件是：存在正整数N，对于任意正数，当时均有.2.设在上连续，在上一致连续，那么在上一致连续.3.设那么正项级数收敛.4.在点沿任意方向的方向导数都存在，则函数在点连续.二（64分）计算下列各题1.求极限2.求极限3.求曲线在处的切线方程4.设在R上连续，，求.5.求6.设求.7.设S是有向曲面，外侧求第二型曲面积分8.求椭球面的切平面与三个坐标平面所围成的几何体的最小体积.三（62分，1-4 /（12分），5（14分））证明以下各题:1.设在有限区间上一致连续求证：在区间上有界.2.已知。

求证：条件收敛.3.设在区间连续，求证：函数列在上一致连续于1.4.设在上连续，求证：在上连续.5.设为在区间上的有界连续函数，并且对于任意实数，方程至多只有有限个解求证：存在.华东师范大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题一（30）判别题（正确证明，错误举反例或说理由）1.设数列满足条件：使，则收敛2.设在上可导若在上有界，则在上有界.3.设正数列满足条件则收敛4.设在上可积，且，则存在，使得:5.设在的某邻域内连续，且在处有偏导数则在处可微.二.计算题（30分）6.求其中.7.求的麦克劳林级数展开式8.求9.设方程定义了隐函数，其中可微，连续，且,求10.求其中三.证明题（90分）11.设在上具有连续的二阶导函数若,求证：在上有连续的导函数.12.设是上连续函数，且在上一致收敛于,求证：13.设在上一致连续，且，求证：.14.设在上连续有界，求证：15.设是定义在开区域D上的有连续的偏导数的三元函数，且，S是由定义的封闭的光滑曲面若且P与Q之间的距离是S中任意两点之间距离的最大值,求证：过P的S的切平面与过Q的S的切平面互相平行，且垂直于过P与Q的连线.华东师大2006年数分考研试题解答一．1. 解 正确.由条件知，对任意，存在正整数，当时，有，于是对任意正整数，有，进而，由此知是基本数列，所以收敛.2. 解 （1）当为有限开区间时，命题正确.因为当为有限开区间时，由在上可导，若在上有界，则可推得在上是一致连续的，从而推知在上有界，.(2) 当为无限开区间时，命题错误.反例1.，，显然在上有界，但在上无界.反例2 ，，显然在上有界，但在上无界.3. 解 错误.反例1 ，，，显然有，，但 ，，发散.注意：这里无单调递减条件.例 ，显然，但是发散.4. 解 正确.用反证法 假若结论不成立.则对任意区间，存在，使得.对区间的任意分割，存在，有，记，，，这与条件相矛盾，所以结论成立.5. 解 错误.反例 设，显然在处连续，，，但是在处不可微.二．6.解 因为，由夹逼定理，得.7. 解 是局部一致收敛的幂级数，从而了逐项积分， .8. 解 .9. 解 由，得 ，，解之得 ，，于是，，.10. 解 由对称性，知，从而 .三．11.证明 当时，，在处是连续的， ，又 ，所以在处是连续的，故在上有连续的导函数.12. 证明 由在上连续，在一致收敛于，得在上连续，，，因为 ，所以有.13. 证明 因为在上一致连续，于是对任意，存在，当，时，有.对于上述，由，存在正整数，当时，有，取，对任意，存在正整数，使得，，，故有.14. 证明 设，由题设条件，知，对任意，存在，使得.因为在处连续，存在，当，时，当充分大之后，有，由此，可得.15. 证明 对任意，，定义，则在上连续，由于是有界闭集，存在，使得，是下列拉格朗日函数的驻点，设，，在点，，，，，，，于是有，，曲面在处的法向量分别为，，因此，故过的的切平面与过的的切平面互相平行，且垂直于过与的直线.。