二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选.doc

二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选【例1】. 已知：如图一，抛物线与*轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于*轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当t 为何值时，s有最小值，并求出最小值3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由答案】解：（1）在中，由*=0得y=－2，∴C（0，－2） 由 y=0得 *=2，∴A（2，0） ∵AB=2，∴B（4，0） ∴可设抛物线的解析式为，代入点C（0，－2）得∴抛物线的解析式为2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4－2t∵ED∥BA，∴△CED∽△COB ∴，即∴ED=2t∴当t=1时，有最大值1。

∴当t=1时，的值最小，最小值是13）存在设BC所在直线的解析式为y=k*+b，由B（4，0），C（0，－2）得 ，解得，∴C所在直线的解析式为 由题意可得：D点的纵坐标为t－2，则D点的横坐标为2t∵∠PBD=∠ABC，∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：当时，即，解得；当时，即，解得综上所述，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理分析】（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（*－2）（*－4），代入点C的坐标求出a即可2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出△CED∽△COB ，从而，求出ED=2CE=2t，根据 ，根据二次函数的最值求出即可3）以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：和代入求出即可例2】. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在*轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与*轴上的点A重合．(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；(2)若抛物线y＝－*2＋b*＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥*轴于点N．问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(4)当≤*≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。

（2） （3）存在设M，则N（m，0）MN=，NA=6－m 又DA=4，CD=8，①若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD∴，即，解得m=6或m=10与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似②若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD∴，即，解得m=－2或m=6与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似③若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD∴，即，方程无解∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似④若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD∴，即，解得m=或m=6当m=时符合条件∴此时存在点M（，），使△AMN与△ACD相似综上所述，存在点M（，），使△AMN与△ACD相似4）设P（p，）， 在中，令y=0，得*=4或*=6 ∴≤*≤7分为≤*＜4，4≤*＜6和6≤*≤7三个区间讨论： ①如图，当≤*＜4时，过点P作PH⊥*轴于点H则OH=p，HA=6－p ，PH=∴ ∴当≤*＜4时，随p的增加而减小。

∴当*=时，取得最大值，最大值为②如图，当4≤*＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G则BH= p，HG=6－p，PH=，∴ ∴当4≤*＜6时，随p的增加而减小∴当*=4时，取得最大值，最大值为8③如图，当6≤*≤7时，过点P作PH⊥*轴于点H则OH=p，HA= p－6，PH=∴∴当6≤*≤7时，随p的增加而增加∴当*=7时，取得最大值，最大值为7综上所述，当*=时，取得最大值，最大值为考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质分析】（1）由OD＝10，OB＝8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与*轴上的点A重合，可得OA2=AB2－OB2=102－82=36，∴OA=6∴A（6，0），B（0，－8）2）∵抛物线y＝－*2＋b*＋c经过点A、B， ∴，解得 ∴这条抛物线的解析式是3）分①若点M在点N上方，，②若点M在点N下方，，③若点M在点N上方，，④若点M在点N下方，四种情况讨论即可4）根据二次函数的性质，分≤*＜4，4≤*＜6和6≤*≤7三个区间分别求出最大值，比较即可。

例3】. 在平面直角坐标系*oy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在*轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）． （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M． ①设AE=*，当*为何值时，△OCE∽△OBC； ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）B（3，0），C（0，） ∵A（—1，0）B（3，0）∴可设过A、B、C三点的抛物线为 又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即2）①当△OCE∽△OBC时，则 ∵OC=， OE=AE—AO=*－1， OB=3，∴。

∴*=2 ∴当*=2时，△OCE∽△OBC ②存在点P 由①可知*=2，∴OE=1∴E（1，0） 此时，△CAE为等边三角形 ∴∠AEC=∠A=60°又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60° ∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称 ∵C（0，），∴M（2，） 过M作MN⊥*轴于点N（2，0），∴MN= ∴ EN=1 ∴ 若△PEM为等腰三角形，则：ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线*=1上，∴P(1，2)或P（1，－2） ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线*=1的交点，∴P(1，) ∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，△EPM为等腰三角形考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。

分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解 ②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可例4】. 已知直线与*轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图①，当点M与点A重合时，求：①抛物线的解析式；（4分）②点N的坐标和线段MN的长；（4分）（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）【答案】解：（1）①∵直线与*轴和y轴分别交于点A和点B，∴A（，0），B（0，－5）当顶点M与点A重合时，∴M（，0）∴抛物线的解析式是：，即②∵N是直线与在抛物线的交点，∴，解得或∴N（，－4）如图，过N作NC⊥*轴，垂足为C∵N（，－4），∴C（，0）∴NC=4．MC=OM－OC=2）存在点M的坐标为（2，－1）或（4，3）考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。

分析】（1）①由直线与*轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式 ②联立和，求出点N的坐标，过N作NC⊥*轴，由勾股定理求出线段MN的长2）存在两种情况，△OMN与△AOB相似： 情况1，∠OMN=900，过M作MD⊥*轴，垂足为D 设M（m，），则OD= m，DM= 又OA=，OB=5， 则由△OMD∽△BAO得，，即，解得m=2∴M（2，－1） 情况2，∠ONM=900，若△OMN与△AOB相似，则∠OMN=∠OBN ∴OM=OB=5 设M（m，），则解得m=4∴M（4，3）综上所述，当点M的坐标为（2，－1）或（4，3）时，△OMN与△AOB相似例5】. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与*轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3。