二元函数极限的求法.pdf

1 二元函数极限的求法数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石， 435002 1. 引言多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难. 求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等 . 在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐, 其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手. 因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限. 多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处， 比如工程计算方面 .从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明. 2. 二元函数极限的定义定义 1 设E是2R的一个子集，R是实数集 ,f是一个规律，如果对E中的每一点 ( ,)x y , 通过规律f, 在R中有唯一的一个u 与此对应 , 则称f是定义在E上的一个二元函数 , 它在点( ,)x y的函数值是 u , 并记此值为( , )f x y，即( , )uf x y. 有时 , 二元函数可以用空间的一块曲面表示出来, 这为研究问题提供了直观想象 . 例如， 二元函数222yxRx就是一个上半球面，球心在原点，半 径 为R， 此函 数定 义 域 为 满 足 关 系 式222Ryx的 x ,y全 体, 即}| ),{(222RyxyxD. 又如,xyZ是马鞍面 . 知道多元函数的定义之后, 在我们求多元函数极限之前我们必须知道多2 元函数极限的定义 . 定义 2 设E是2R的一个开集，A是一个常数，二元函数( ,)fMf x y在点000,MxyE 附近有定义．如果0,0, 当00,r M M时,有()f MA, 就称A是二元函数在0M点的极限 . 记为0lim MMfMA或0fMA MM. 定义的等价叙述1 ：设E是2R的一个开集 ,A是一个常数 , 二元函数( ,)fMf x y 在点000,MxyE附近有定义．如果0，0，当22000xxyy时，有( ,)f x yA，就称A是二元函数在0M点的极限。

记为0lim MMfMA或0fMA MM. 定义的等价叙述2： 设E是2R的一个开集 ,A是一个常数 , 二元函数( ,)fMf x y 在点000,MxyE附近有定义．如果0，0，当000,0xxyy且00,,x yxy时，有( ,)f x yA，就称A是 二元 函 数 在0M点 的 极 限.记 为0l i m MMfMA或0fMA MM. 注： （1）和一元函数的情形一样，如果0lim() MMf MA, 则当 M 以任何点列及任何方式趋于0M时,()f M 的极限是A；反之 ,M以任何方式及任何点列趋于0M时，()f M 的极限是A. 但若M在某一点列或沿某一曲线0M时，()f M 的极限为A，还不能肯定()f M 在0M的极限是A. 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多 , 特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂. 3 3. 二元函数极限的计算方法二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的, 两者之间既有区别又有联系 . 在极限的运算法则上它们是一致的, 但随着变量的增加 , 二元函数极限的求解比一元函数复杂得多. 现总结出一些常用的二元函数极限求解的方法，对后面含有更多变量的多元函数极限的求解打下基础. 3.1 利用二元函数极限的定义求解例 1 求122,0,0limsin x yxyxy. 解：当,0,0x y时，122sin0xyxyxyxy. 任意地给定一个正数，取2，则当,xy, 并且,0,0x y时，有122sin0xyxyxy, 所以122,0,0limsin0 x yxyxy. 3.2 利用极限的运算法则求解二元函数的极限的运算法则有着和一元函数类似的运算法则. 例 2 求22,0,02lim x yxxyyxy. 解：由于2222xxyyxy，则22,0,02lim x yxxyyxy,0,0,0,0limlim x yx yxyxy00limlim0xyxy. 3.3 利用初等函数的连续性求解4 二元初等函数在定义域内都是连续的. 由二元函数极限的定义可知, 若f 为二元初等函数 ,000,Pxy是函数 f 定义域内一点 , 则0000,,lim,, x yxyfx yfxy. 例 3 求 22,1,0limyx ylnxexy. 解：因为 22,yln xe fx y xy是初等函数，而1,0 是其定义域内的点，故22,1,0lim1,0ln 2yx yln xef xy. 3.4 利用无穷小量的相关结论求解一元函数关于无穷小量的某些结论对于二元函数同样适用, 例如无穷小量的倒数是无穷大量, 等价无穷小替换 , 无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量 . 例 4 求33,0,0sin lim x yxyxy. 解：,0,0x y时，3333sin xyxy. 故33,0,0sinlim x yxyxy33,0,0lim x yxyxy22,0,0lim x yxxyy=0. 3.5 利用两边夹法则求解5 类似于一元函数极限的两边夹法则，可证明二元函数极限的两边夹法则. 设,fx y ，,g x y 和,h x y 在区域D上有定义 ,000,Pxy是D的内点或界点,,,,g x yfx yh x y若00,,lim, x yxyg x yA, 00,,lim, x yxyh x yA则有00,,lim, x yxyfx yA. 例 5 求22,,lim x yxyxxyy. 解：由222xyxy可得22221102xyxyxyxxyyxyxyxyxyxy. 而,,1111limlimlim0,x yxyxyxy所以22,,lim0x yxyxxyy. 3.6 利用重要极限公式求解有时我们可以利用一元函数的重要极限 0sinlim1xxx和1lim 1xxex直接求解二元函数的极限 . 例 6 求33,0,0sin lim x yxxy. 解：令33txy，则,0,0x y时0t，从而6 33,0,0333333,0,0,0,0sin limsin =lim.limx yx yx yxyxyxyxyxyxy22,0,00sinlim.lim x yttxxyyt=0. 例 7 求sin,,1lim1xyx yxy. 解：sinsin.,,,,11lim1lim1yxyxy yx yx yxyxy令txy，则,,,,11sinsinlim1lim 1,limlim0xytx ytx yyyyexytyy. 故sin0,,1lim11xyx yexy. 3.7 把二元函数的极限转化为一元函数的极限定理 1 ,zfx y在点000,Pxy的某空心邻域内有定义,cos,sin是向量00,xxyy的方向余弦，若000limcos,sintfxtytA， 则有：（1）若00,,lim, x yxyfx yA, 则A与无关; （2）若A与有关, 则00,,lim, x yxyfx y 不存在 . 例 8 求2222,3,232lim 32x yxyxy. 7 解：此极限中003,2xy222200cossinlim3cos ,2sinlim cossinttttftt tt2220limsincos0tt. 从而2222,3,232lim0 32x yxyxy. 3.8 利用换元法例 9 求22,0,0sin limx yx yxyxy. 解：22,0,0sinlim x yx yxyxy,0,0sinlim x yxy xyxy,0,0sin limx yxy xy xyxy xy,0,0,0,0sinlimlim x yx yxy xyxyxy xy. 令txy xy，因为,0,0x y所以0t，则,0,00sinsinlimlim1. x ytxy xytxy xyt所以,0,0,0,0sinlimlim0. x yx yxy xyxyxy xy8 即22,0,0sin lim0 x yx yxyxy. 例 10 求22,0,0limln x yxyxy解：令cos ,sin,xryr则220ln2cossinln4lnxyxyrrrr. 其中 000lnlimlnlimlim01rrrrrrrr洛必达法则. 故由两边夹法则知：22,0,0limln=0 x yxyxy. 在求某个具体极限时 , 往往是多种方法的综合运用. 如在上面的“重要极限”中的两个例子 , 实际上也运用到了换元法, 在“换元法”的例子中用到了两边夹法则以及洛必达法则. 但要注意在使用洛必达法则时, 必须把原极限转化为相应的一元函数的不定式极限. 4.综合运用由上我们知道二元函数的求法有很多种, 同一个题目可以有多种做法,也可能是几种方法的综合. 因此, 我们要灵活运用二元函数极限的计算方法. 例 1 试应用-定义证明222,0,0lim x yx yxy. 方法 1 证明：因为,0,0x y时，2222210.2x yxyxxxxyxy从而0,取, 则当0,0xy时, 9 222x yxy，所以222,0,0lim0x yx yxy. 方法 1 的证明中用的是方形邻域 . 如果用圆形邻域 , 则证明如方法 2. 方法 2 证明：因为22222,xxyyxy, 所以3 22222 22 222222xyxyx yxyxyxyxy. 于是对于0,= ,取则当220,xy时222x yxy, 即222,0,0lim0x yx yxy. 方法 3 证明：令cos ,sin,xryr则,0,0x y时， r0.所以222 2 222cos. sincossinx yrrrrxyr. 从而0,,0r取当时, 有222x yrxy, 所以10 222,0,0lim0x yx yxy. 例 1 主要是运用二元函数极限的定义来解决问题. 例 2 求22 22,0,0limx yx yxy. 解：因为2222222220lnln4xy x yxyxy令22txy, 则22222,0,0limln4x yxy xy201limln4ttt0. 所以22 22,0,0limx yx yxy2222ln,0,0limx yxyx ye0e1. 例 2 中用到的是两边夹法则以及换元法的综合. 例 3 220 0lim x yyx xxy. 解法 1：设22,cos ,sin ,xyxy则220 0lim x yyx xxy11 20sincoscoslim0limsincoscos0. 解法 2：2222220xxyyx xxyxy22222xxyxy22222 xyxy222xy. 又220 0lim 20x yxy, 所以220 0lim0 x yyx xxy. 例 4 求222limxx yxyxy. 解：22102xyxy因为而2+1lim02xx y, 所以222lim0xx yxyxy. 12 例 5 求21lim 1xxyx yax. 解：21lim1+xxyx yax1lim1x xxyx yaxe. 从上述中的几个例题中可以看出, 求解二元函数极限的方法不外乎那么几种. 因此, 总结出二元函数极限的计算方法是很有必要的. 至于三元以至更多元的函数, 其极限理论一般地都可由二元函数类推而出. 多元函数理论是一元函数理论的发展, 但从一元函数转到二元函数, 会出现某些原则上是新的东西. 比如, 二元函数会出现累次极限和重极限的问题.在这里就不一一叙述了 . 结束语本文通过对比一元函数极限的性质和求法, 总结出二元函数极限计算的一些常用方法 , 并给出了相应的例题加以说明. 求极限的方法有很多 , 通过总结出常用的计算方法 , 让我们做题时知道如何下手.13 致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾。