Gronwall不等式.pdf

格朗沃尔不等式在数学中，格朗沃尔引理 或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的微分方程 或积分方程 的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的 不等式 格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式积分形式下的不等式可以有几种不同的写法格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程 的解的取值范围 比如，它可以用来证明初值问题 的解的 唯一性 （见 柯西-利普希茨定理 ）格朗沃尔不等式的名称来自多玛· 哈肯· 格朗沃尔格朗沃尔是一位瑞典的数学家 ，后来移居 美国格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919 年证明[1]而积分形式则是由 理查德 · 贝尔曼 （Richard Bellman ）在 1943年证明[2]微分形式设 I 是一个 实数区间 ，记为： [a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中a 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则 ：对所有的t > a 成立，因此于是格朗沃尔不等式得证积分形式设 I 是一个 实数区间 ，记为： [a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中a < b又设 α 、β和 u 为定义在I 上的实数值的 函数假设 β和 u 是连续的，则有：(a) 如果 β是非负函数并且u 满足如下的积分不等式：，那么。

b) 如果在之前的条件下，α还是一个常数，那么注意：不等式的成立条件里并没有限制α和 u 的符号；相比于微分形式， 积分形式中对函数u 的可微性没有做要求；证明(a) 定义则运用复合函数求导法则中的乘法法则、链式法则 、指数函数 的求导法则以及 微积分基本定理 ，可以得到：，由于注意到括号中的部分小于α ，可以得到相应的不等式，并进行积分由于函数β以及其指数都是非负函数，积分后不等号保持不变然而v(a) = 0，因此积分式等价于：再运用第一步里v(t) 的定义，就得到：最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了b) 如果函数α为常数函数，那么命题(a) 中不等式的右边可以进行积分由微积分基本定理可以获得：。