（江苏专用）2021版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角变换、解三角形学案文苏教版.doc

江苏专用）2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角变换、解三角形学案文苏教版第2讲　三角变换、解三角形 [2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．三角变换与求值第13题第16题第5题江苏高考对于三角恒等变换的命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与三角函数、向量交汇的综合题或实际应用题是命题方向．2．解三角形第15题第18题第13题1．必记的概念与定理(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β．②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β．③tan(α±β)＝ ．(2)倍角公式①sin 2α＝2sin αcos α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan 2α＝．2．记住几个常用的公式与结论(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α；sin2α＝1－cos2α； cos2α＝1－sin2α；sin α＝±；cos α＝±．(2)升(降)幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α．(3)辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(φ由a，b具体的值确定)．(4)正切公式的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)． (5)正弦定理的各种形式：形式一：＝＝＝2R；形式二：sin A＝；sin B＝；sin C＝；(角到边的转换)形式三：a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C；(边到角的转换)形式四：S＝absin C＝bcsin A＝acsin B．(求三角形的面积)(6)余弦定理的各种形式：形式一：a2＝b2＋c2－2bc·cos A，b2＝a2＋c2－2ac·cos B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C；形式二：cos A＝，cos B＝，cos C＝．(角到边的转换)3．需要关注的易错易混点(1)三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；α可视为的倍角；±α可视为(±2α)的半角等等．当然变换形式不唯一，应因题而异．(2)解题前要善于分析题目中所给式子的结构，掌握结构的特点，通过降幂、升幂、常数代换等手段，为使用公式创造条件，这是三角变换的重要策略．(3)解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助解题”．三角变换与求值[典型例题] (1)(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．(2)(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－．①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值．【解】　(1)＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝．(2)①因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α．因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－．②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2．因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－．(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[对点训练]1．(2019·徐州模拟)已知sin＋cos α＝，则sin的值为________．[解析] 由条件得sin α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝．所以sin＝．[答案] 2．在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．[解析] 由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，两边同时除以cos Bcos C得tan B＋tan C＝2tan Btan C，令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tan Btan C>2，则tan Btan C>1，m>2．又在三角形中有tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当m－2＝，即m＝4时取得等号，故tan Atan Btan C的最小值为8．[答案] 8解三角形[典型例题] (2019·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；(2)若＝，求sin的值．【解】　(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝．所以c＝．(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B．从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝．因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝．因此sin＝cos B＝．解三角形问题的求解一般是从两个角度来看，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．　[对点训练]3．(2019·高考江苏卷)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．[解] (1)过A作AE⊥BD，垂足为E．由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8．因为PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝．所以PB＝＝＝15．因此道路PB的长为15百米．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连结AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bsin∠P1BD＝P1Bcos∠EBA＝15×＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15．由上可知，d≥15．再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝ ＝ ＝3．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3．因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．1．(2019·南通市高三模拟)已知sin＝，则sin＋sin2的值为________．[解析] sin＝sin＝－sin＝－，sin2＝sin2＝cos2＝，则sin＋sin2＝－＋＝．[答案] 2．(2019·扬州模拟)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC的形状为________．[解析] 由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x>0)．则cos C＝＝<0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．[答案] 钝角三角形3．(2019·江苏省高考名校联考(二))若coscos＝－，α∈，则sin 2α＝________．[解析] coscos＝·＝－，则cos 2α＋sin 2α＝－，可得又α∈，解得cos 2α＝－，sin 2α＝．[答案] 4．(2019·无锡模拟)计算的值为________．[解析] ＝＝＝＝．[答案] 5．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是________．[解析] 由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝．[答案] 6．(2019·南京市四校第一学期联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝，cos B＝，则b的值为________．[解析] 因为2b＝a＋c，sin B＝，cos B＝，sin2B＋cos2B＝1，所以ac＝15，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－48＝4b2－48，得b＝4．[答案] 47．已知cos θ＝－，θ∈(－π，0)，则sin＋cos＝________________________________________________________________________．[解析] 因为θ∈(－π，0)，所以sin θ＝－＝－，因为sin θ