商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明.pdf

商高、 趙爽與劉徽關於勾股定理的證明∗曲安京一. 緣起「周髀算經」 是流傳至今最古老的一部天算典籍, 它的成書年代保守估計應在公元前一世紀 該書開篇記述周公與商高的問答,將中國數學史的源流回溯到公元前十一世紀,由於商高的答辭中論述了勾股定理的內容,因此歷來深受研究者的重視勾股定理在中國傳統數學 (尤其是幾何學) 中的重要性無論怎樣定位恐皆不會過分遠在三國時代的趙爽注釋 「周髀」 並撰著“句股圓方圖說”之前, 有關勾股定理及勾股形問題的討論已經出現在 「周髀算經」 及 「九章算術」 等著作中, 但中算家究竟何時給予勾股定理以嚴格的證明, 則是人們對商高答周公問所寄寓濃厚興趣的原因所在本世紀五十年代, 中國大陸的數學史界曾就 「周髀」 中是否給出勾股定理一般形式的證明, 展開過頗為熱烈的討論, 但終因其原文有關文字過於隱晦而難於疏通, 結果不了了之1982年, 台灣陳良佐先生發表文章, 討論趙爽的“勾股圓方圖注”, 首次從探析趙爽對 「周髀」 中商高答問一段文字注釋的角度,給出了原文一些極富啟發性的說明[1], 由此引發了新一輪“商高是否證明了勾股定理”的討論1989 年,台灣李國偉先生在“第二屆(台灣) 科學史研討會”上發表論文, 拋開趙爽注, 以為 「周髀」 原文已經表明商高證明了勾股定理[2]。

幾乎同時, 陳良佐教授與美國程貞一先生亦發表論文, 再論商高答周公問, 他們給出的證明圖幾乎一致, 但陳教授以為商高原文尚有個別疑點, 只是求弦的方法, 未必稱得上是對勾股定理的證明[3]; 而程貞一教授則主張, 商高已給出了該定理一個一般性的證明[4]1993年, 西安李繼閔先生發表論文, 給出商高原文另一種不同解釋,李繼閔教授以為,前述三位學者將術文中的“矩”理解為直角四邊形,缺乏中算根據, 李文認為,“矩”的古義一為“矩線”, 一為“磬折形”(即曲尺形);“矩”演變為今日 “矩形”的概念, 則是明代西方數學傳入中國之後的事[5]上述四種論點, 除陳良佐先生外, 皆力主商高已證明勾股定理, 李國偉先生以為趙爽注與原文難相吻合, 李繼閔先生則逐字訓解趙注, 認為它與經文完全一致∗本文係筆者系列論文“「周髀」 當論之四” 寫作時,多次與古克禮( C. Cullen)博士討論,承惠予指點,獲益良多,特此致謝20商高、 趙爽與劉徽關於勾股定理的證明211994年10月底, 筆者受紐約李氏基金資助到英國劍橋李約瑟研究所做為期一年的訪學, 11月中, 倫敦大學古克禮 (C. Cullen)先生在該所每周例行的古漢語英譯討論班上,報告他英譯 「周髀算經」 中商高答問等有關內容, 在報告完畢時, 筆者便按照李繼閔教授有關“矩”的釋義, 提出一種與古克禮博士完全不同的看法, 受到質疑, 感覺難以自圓其說, 遂對此產生興趣。

後經對商高答問及趙爽注文的仔細分析, 發覺將“矩”釋為直角四邊形似非絕無可能, 因之由此出發, 重新探討商高原文與趙爽注釋的含義在完成對商高答問及趙爽注釋的疏解之後, 我從劍大圖書館等處找來了上述幾位學者的文章, 認真拜讀之後, 發覺對經文的圖解與李國偉教授的觀點有些類似 李國偉先生的大作兩年前曾在李繼閔教授處見過, 當時沒有仔細拜讀, 依稀覺得其構圖十分複雜,由於當時我對李繼閔教授的論述已然深信不疑, 認為“商高定理”幾成定論, 因而未去研讀其它學者的論述, 這次“舊事重提”, 或許潛意識裡不能抹殺李國偉先生大作中圖示的啟發,這裡特別說明依筆者愚見, 商高確實證明了勾股定理,趙爽的注文則不僅正確理解了商高答問原文的內含, 而且由此創作了“句股圓方圖說”二. 商高關於勾股定理的證明「周髀算經」 第一章即周公與商高的問答, 原文不長, 今照錄如下:昔者周公問於商高曰:“竊聞乎大夫善數也, 請問昔者包犧立周天曆度, 夫天可不階而升, 地不可得尺寸而度, 請問數安從出?”商高曰:“數之法出於圓方, 圓出於方,方出於矩, 矩出於九九八十一 故折矩, 以為句廣三, 股修四, 徑隅五 既方之, 外半其一矩, 環而共盤, 得成三四五。

兩矩共長二十有五, 是謂積矩 故禹之所以治天下者, 此數之所生也[6]商高的答辭總共81個字,“矩”出現了五次 對於上述文字理解上產生的歧異, 主要集中在以下兩點:1. “矩”,“其一矩”,“兩矩”各指什麼?2. “既方之”如何操作?筆者認為, 這裡的“矩”可以統統理解為長方形 (包含正方形), “其一矩”是不同於“故折矩”中所述的另一種長方形, “兩矩”正如趙爽所注為勾與股為邊長的兩個正方形既方之”, 則是取一與趙爽弦圖大小相同的正方形 (邊長為勾+ 股)以下結合趙爽注, 逐句解釋商高的答辭所謂“數之法出於圓方”, 是古人對宇宙萬物的數學抽象, 意指任何事物的形態或測度, 均可以歸結為對某種“方”或“圓”形的計算 如劉徽在 《九章算術》“圓田術注”中便稱“凡物類形象, 不圓則方 方圓之率, 誠著於近, 則雖遠可知也由於遠古中國人認為圓周率 π = 3, 於是, 任何圓的度量, 按周長 = 3× 直徑圓積 =3 4× 直徑2皆可化為對邊長等於圓徑的正方形的度量:圓周長: 正方形周長=圓積: 方積=3:422數學傳播20卷3期 民85年9月因此說“圓出於方”由於“方”為長方形 (即矩) 之特例, 因此說“方出於矩”, 即“方”的度量可按“矩” 來處理。

趙爽注稱:“矩, 廣長也 正是在講“矩” 是由長與寬 (即廣) 兩條垂直的邊所交成的直角四邊形 其面積=長×寬, 需用乘法計算, 因此說“矩出於九九八十一”誠然, 在趙爽“句股圓方圖說”及 「九章算術」 劉徽注的文字中, 所提到的弦方之中“勾實之矩”或“股實之矩”分別是以股弦差或勾弦差為寬的曲尺形, 但在計算其面積時, 則分別按下述文字陳述:勾實之矩, 以股弦差為廣, 股弦並為袤股實之矩, 以勾弦差為廣, 勾弦並為袤這分明是將曲尺形化為長方形 而從上述陳述句式判斷,“矩”不就是以“廣”和“袤”為邊長的長方形嗎? 因此, 筆者認為,“矩”形本應指長方形, “勾實之矩”或“股實之矩”因其可以直接化為長方形, 故得此稱謂如前所述, 商高將宇宙萬物抽象為圓與方, 而通過 π = 3, 又得“圓: 方 = 3 : 4”, 就勾股定理而言, 有32+ 42= 522,3,4,5這種奇妙的數字組合, 簡直就成了整個中國古代數學的出發點因此, 商高以4為股,3為勾來建立勾股定理, 它們分別代表了宇宙最基本的兩種幾何形態: 方與圓勾廣三勾方之矩股 方 之 矩股 修 四徑 隅 五. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .圖一. 故折矩“故折矩”, 就是將通過圓與方之關係導出的勾3, 股4分別折合成“勾方之矩”與“股方之矩”, 如圖一所示。

此兩矩位置的設置, 按趙爽注稱:“應圓之周, 橫者謂之廣, 句亦廣,廣, 短也 因此將勾方之矩置於右下, 又“應方之匝, 從者謂之修, 股亦修, 修, 長也 將股方之矩置於左上徑隅五”, 即由“兩矩”相交的兩條邊勾與股所對應的斜邊, 按勾三, 股四, 適得弦五[7] 這是以下將要證明的事實既方之”, 就是在圖一的基礎上做一大正方形按趙爽注稱:“句股之法, 先知二數, 然後推一 見句股, 然後求弦, 先各自乘, 成其實,實成勢化, 爾乃變通, 故曰‘既方’這段注文的意思是說, 按勾股定理, 若已知勾股, 即可求弦 現在通過“折矩”, 先令勾股各自乘, 而給出勾方與股方, 要將這兩矩面積之和轉化為弦方的面積, 進行變通, 因此, 將其納入一大正方形之中, 這就是“既方之”的用意趙爽接著說:“其外, 或並句股之實以求弦, 實之中乃求句股之分並, 實不正等, 更相取與, 互有所得, 故曰‘半其一矩’商高、 趙爽與劉徽關於勾股定理的證明23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .。