6.第六讲.贝利相位.ppt

Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 2011-4-25 第 四 讲 贝 利 相 位 Berry Phase物理专业2008级*12 Dirac说： “如果有人问，量子力学的主要特征是什么？现在我倾向于说，量子力学的主要特征并不是不对易代数，而是概率幅的存在后者是全部原子过程的基础概率幅是与实验相联系的，但这只是问题的一部分概率幅的模方是我们能观测的某种量，即实验者所观测到的概率但除此以外，还有相位，它是模为1的数，它的变化不影响模方但这个相位是极其重要的，因为它是所有干涉现象的根源，其物理意义是极其隐晦难解的引言 1984年贝利从理论上指出了一种新的相位，即贝利相位，随后得到了实验的证实Date3一、贝利相位的引入 设量子体系的哈密顿算符 是一组参量 的函数而 随时间作周期性变化例如周期变化的磁场的矢势 可作为 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 （1）瞬时本征函数满足的正交归一化条件 若假定周期 足够大，以致哈密顿算符随时间的变化很缓慢(此称为绝热变化过程) ，致使系统在每一瞬间都是准静止的，于是对于某一瞬时 ，瞬时定态薛定谔方程成立Date4（2）绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程称为动力学相位瞬时本征态（3）其中（4）（5）用 左乘上式，并利用（2）式，则有（6）Date5考虑一般含时薛定谔方程（7）可用 展开，即 （8）（8）式代入（7）式得由（4）式（9）Date6左乘上式，可得在绝热近似条件下，利用（6）式，上式可简化为（10）（11）积分得到（12）其中初始条件式（2）对时间求导（13）即（14）Date7可见（12）式指数中被积函数为纯虚数，若记（15）则（12）式可写成（16）于是，绝热近似下，方程（7）的解（8）可写为由（15）式所给出的 称为贝利相位，是实的。

二、贝利相位的意义（17） 式15）初看之下， 是绝对相因子， 不是可观测量，可观测量 中消去了 但是，1984年贝利指出，当（15）式积分路径是 参数空间的闭合回路时，可观察到 的效果 ，具有物理意义Date8（18） 当（15）式中积分路径是 参数空间的闭合回路 时，引入 空间的“矢势”（19）于是，贝利相位可写成（20）Date9其中（21）称为参数空间“磁场强度” 式（20）表明，贝利相位 是参数空间“磁场强度”的磁通量的负值与演化路径的几何结构有关 因此，贝利相位又称为几何相位三.参数空间“磁场强度”的计算为实数为纯虚数Date10两反平行矢量叉积为零（22）由瞬时定态薛定谔方程 取梯度用 左乘上式Date11（23）将（23）和（24）代入（22）得（25）由（2）式取梯度有（24）Date12解：粒子磁矩为能量算符的本征方程哈密顿量（1）即（2）Ex.自旋 的粒子在外磁场 中运动，设粒子荷电为 ，试研究其Berry相位Date13相应的能量久期方程为能量本征值：（3）（4） 下面为了简化推导，我们假设 沿 轴方向，并设初态 瞬时本征态为 ，即自旋与 方向相反 式中只有一项因而，在Date14其中：（5）Date15（6）将此结果推广到一般的 ，则有（7）同理当初态为 时，有（8）贝利相位将以上各结果代入（5）式得Date16 是闭合曲线 对参数空间原点 所张立体角. 贝利指出上式表明在 处有强度为 单位的“磁单极” 存在，这种奇异性是由于能级的简并引起： （9）式表示了贝利相位与曲线 所张立体角的关系，揭示出其几何性，故称贝利相位为几何相位。