四轴飞行器动力学分析与建模.docx

四翼飞行器动力学分析与建模1. 引言四轴飞行器，又称四旋翼飞行器、四旋翼直升机，简称四轴、四旋翼这四轴飞行器(Quadrotor)是一种多旋翼飞行器四轴飞行器的四个螺旋桨都是电机直连的简单机构，十字形的布局允许飞行器通过改变电机转速获得旋转机身的力，从而调整自身姿态因为它固有的复杂性，历史上从未有大型的商用四轴飞行器近年来得益于微机电控制技术的发展，稳定的四轴飞行器得到了广泛的关注，应用前景十分可观本章通过分析四旋翼直升机的动力学机制，运用已知的物理定律和方程来建立表征系统动态过程的数学模型2. 四旋翼飞行器简介2.1四旋翼飞行器结构四旋翼直升机主体构成有：产生升力的四个旋翼、飞行控制设备及其支撑旋翼的机身有时为了保护飞行器，避免旋翼的损坏，特别装设了保护架其中，每个旋翼包括直流电机、翼翅及连接件等部分如下图所示：2.2四旋翼飞行器飞行原理四旋翼直升机与传统的直升机相比，有着自己独特的地方它的四个呈十字平均分布的旋翼取代了传统的单独的旋翼，对机身产生单独的力和力矩四旋翼直升机通过改变旋翼转速来控制飞行器的姿态，且四个旋翼的动态特性高度耦合3. 四旋翼飞行器动力学方程3.1坐标描述及其转换关系飞机的姿态角、飞行速度的大小和方向等参数总是和坐标系联系在一起的，要确切地描述飞机的运动状态，就要先建立适当的坐标系。

下面定义几种坐标系，并分析各坐标之间的相互转换关系：(1)地面坐标系E（OXYZ）地面坐标系用语研究飞机相对于地面的运动，确定飞机在空间的位置坐标X、Y、Z，从而方便研究飞机的姿态、航向以及飞机相对起飞点的空间位置该坐标系原点固定于地面上飞机的起飞点，OX轴指向飞机制定的飞行方向，OZ轴垂直水平面向上，OY轴垂直OXZ平面2)机体坐标系B（Oxyz）机体坐标系固定在机体上，原点设在飞机重心，纵轴Ox平行于前后旋翼的连线，指向前方为正方向，竖轴Oz平行于左右旋翼的连线，指向右方为正方向；轴Oy与轴Ox、Oz所在平面垂直，并与轴Ox、轴Oz组成右手坐标系3)地面坐标系和机体坐标系的转换在飞机飞行动力学中，对于描述地面坐标系和机体坐标系之间的关系的角度可用如下定义的三个欧拉角加以确定偏航角ψ——机体轴Ox在地面坐标系水平面OXY上的投影线X’与X轴之间的夹角俯仰角θ——机体轴Ox与地面坐标系水平面OXY的夹角滚转角Φ——机体轴Oz和包含机体轴Ox间的夹角由此可得到物体坐标系到地面坐标系各个轴的转换矩阵，分别表示为(2-1)式、(2-2)式和(2-3)式 Rx=1000cosΦsinΦ0sinΦcosΦ (2-1) Ry=cosθ0sinθ010-sinθ0cosθ (2-2) Rz=cosψ-sinψ0sinψcosψ0001 (2-3)综合可得机体坐标系B到地面坐标系E的转换矩阵为： R= Rz Ry Rx=cosψcosΦcosψsinθsinΦcosψsinθcosΦ+sinψsinΦsinψcosθsinψsinθsinΦsinψsinθcosΦ-cosψsinΦ-sinθcosθsinΦcosθcosΦ (2-4)得到如下图所示坐标系：3.2动力学方程的建立3.2.1模型假设1)飞机是刚体，在其运动过程中质量保持不变2)地面坐标系为惯性坐标，由于本文针对微型飞机，飞行距离不是很遥远，飞行高度不是很高，所以视地球表面为平面，视重力加速度不随飞行高度的变化而变化3)不计地球自转和公转运动的影响4)机体坐标系的xoz平面为飞机几何形状和质量的对称平面，惯性积Ixy=Iyz=03.2.2模型建立在忽略弹性振动及形变的情况下，微小型四旋翼飞行器的运动可以看成是六个自由度的刚体运动，即包含绕三个轴的转动（偏航、俯仰和滚动）和重心沿三个轴的线运动（进退、左右侧飞和升降）。

根据牛顿第二定律，飞机动力学方程的向量形式为： F=mdVdt (2-5) M=ⅆHdt (2-6)式中，F——作用在四旋翼飞行器上的所有外力的和；M——飞机的质量；V——飞机的质心速度；M——作用在飞机上的所有外力矩的和；H——飞机相对于地面坐标系的绝对动量矩假设FX、FY、FZ；u、v、w；p、q、r分别为F、V、ω在机体坐标系三个坐标轴ox、oy、oz上的分量1） 线运动方程：作用在四旋翼直升机机体上的外力有重力，四个旋翼的升力和外界的阻力重力可以表示为：G=mg (2-7)阻力可以表示为：Di=12ρCdωi2=kdωi2 (2-8)每个旋翼产生的升力为：Ti=12ρCtωi2=ktωi2 (2-9)其中g为重力加速度，ρ为空气密度，Cd为旋翼的阻力系数，Ct为旋翼的升力系数，通常他们的值取决于飞机的运动状态和构型，大气参数等诸多产量，ωi(i=1,2,3,4)是第i个旋翼的角速度由于上述各式是在地面坐标系下建立的，通过转换矩阵R转换到机体坐标系下，并带入(2-5)式，可得到： x=uy=vz=wu=Fx-K1⋅xm=kti=14ωi2(sinΨsinϕ+cosΨsinθcosϕ)-K1⋅xmv=Fy-K2⋅ym=kti=14ωi2(-cosΨsinϕ+sinΨsinθcosϕ)-K2⋅ymw=Fz-mg-K3⋅zm=kti=14ωi2(cosθcosϕ)-K3⋅zm-g (2-10)其中Ki为综合的阻力系数。

2） 角动量方程：欧拉角的角速度和机体的角速度之间有如下的关系： pqr=ϕ-ΨsinθθcosΦ+ΨsinϕcosθθsinΦ+Ψcosϕcosθ (2-11)由此可以解出： ΦθΨ=pcosθ+qsinΦsinθ+rcosΦsinθcosθqsinΦ+rsinΦqsinΦ+rcosΦcosθ (2-12)四旋翼无人机外形结构和质量分布都具有较好的对称性，重心近似位于机体中心，因此可以假定无人机的惯性矩阵I为对角阵： I=Ix000Iy000Iz (2-13)根据刚体转动定律可以得到角速度运动方程为： M=Ipqr (2-14)根据动量矩的计算方法，仿照线运动方程的推导，可以得到角速度方程式： MxMyMz=pIx-rIxz+qrIz-Iy-pqIxzqIy+prIx-Iz+(p2-r2)IxzrIz-pIxz+pqIy-Ix+qrIxz (2-15)其中Mx、My、Mz是四旋翼直升机的合力矩在机体坐标系三个坐标轴ox、oy、oz上的分量整理可得： pqr=Mx+Ix-IzqrIxMy+Iz-IxrpIyMz+Ix-IypqIz (2-16)综合以上分析，得到四旋翼直升机的非线性运动方程： x=uy=vz=wu=Fx-K1⋅xmv=Fy-K2⋅ymw=Fz-mg-K3⋅zmp=Mx+Ix-IzqrIxq=My+Iz-IxrpIyr=Mz+Ix-IypqIzΦ=pcosθ+qsinΦsinθ+rcosΦsinθcosθθ=qsinΦ+rsinΦΨ=qsinΦ+rcosΦcosθ (2-17)3.2.3模型的简化为了把四旋翼直升机非线性耦合模型分解成四个独立的控制通道，定义系统的控制输入量为： U1=F1+F2+F3+F4=kti=14ωi2U2=F4-F2=kt(ω42-ω22)U3=F3-F1=kt(ω32-ω12)U4=F2+F4-F3-F1=kd(ω12+ω22+ω32+ω42) (2-18)其中，U1垂直速度控制量，U2滚动输入控制量，U3俯仰控制输入量，U4偏航控制量。

ω为各旋翼转速，F为各旋翼所受到的拉力考虑外界条件时控制设计比较复杂，所以先研究室内或室外无风情况下直升机悬停和慢速飞行控制，这样就可以忽略阻力系数Ki，整理得到数学模型如下： x=(sinΨsinϕ+cosΨcosθcosϕ)U1my=(-cosΨsinϕ+sinΨsinθcosϕ)U1mz=(cosθcosϕ)U1m-gϕ=lU2+θΨ(Iy-Iz)Ixθ=lU3+ϕΨIz-IxIyΨ=lU4+ϕθIx-IzIz (2-19)到目前为止，我们计算了飞行器的作用力，接下来计算扭矩每个转子贡献一点关于机体 z 轴的扭矩这扭矩是用来保持螺旋桨旋转和提供推力；它产生瞬时角加速度和克服了摩擦阻力由流体动力学可以得到摩擦力为：4. 其中ρ是周围流体密度，A是参考面积（是螺旋桨的截面，而不是螺旋桨扫过的面积），CD是一个无量纲的常量这样的近似尽管有些地方不太好，就我们而已，结果精度是足够好的于是推出由摩擦力产生的扭矩：其中ω是螺旋桨的角速度，R是螺旋桨的半径，b是摩擦常数注意到，我们已经假定所有的力作用于螺旋桨的末梢，这是当然不准确；然而，对我们而言唯一重要的结果是摩擦扭矩与角速度的平方成正比我们有以z为轴的完整第i个电机的扭矩：其中IM是电机关于z轴的转动惯量，是螺旋桨的角加速度，b是阻力系数。

注意到，在稳态飞行(即不起飞或着陆)时因为大部分时间的螺旋桨会维持恒定的（或几乎不变的）的推力而不会加速因此，我们忽略了这一时期，对整个表达式简化：其中(−1)i+1项是正的如果第i个螺旋桨式顺时针转，否则为负关于z的总扭矩是每个螺旋桨轴扭矩的和：在此基础上便可以对我们小组研究的课题进行讨论4. 四旋翼飞行器旋转过程中的受力分析四旋翼飞行器的旋转指的是飞行器绕自身中心轴进行旋转，而不改变其高度、位置等其他参数，在专业术语中称为偏航运动四旋翼飞行器偏航运动可以借助旋翼产生的反扭矩来实现旋翼转动过程中由于空气阻力作用会形成与转动方向相反的反扭矩，为了克服反扭矩影响，可使四个旋翼中的两个正转，两个反转，且对角线上的来年各个旋翼转动方向相同反扭矩的大小与旋翼转速有关，当四个电机转速相同时，四个旋翼产生的反扭矩相互平衡，四旋翼飞行器不发生转动；当四个电机转速不完全相同时，不平衡的反扭矩会引起四旋翼飞行器转动在图d中，当电机1和电机3的转速上升，电机2和电机4的转速下降时，旋翼1和旋翼3对机身的反扭矩大于旋翼2和旋翼4对机身的反扭矩，机身便在富余反扭矩的作用下绕z轴转动，实现飞行器的偏航运动，转向与电机1、电机3的转向相反。

借助力矩之间的平衡，已经在3中提出的悬停原理，可以在保证飞行器高度保持不变的情况下进行偏航运动，进而达到旋转镜头的目的5. 四旋翼飞行器侧飞过程的受力分析做到悬停之后，四旋翼飞行器又如何前进呢?这需要力的方向发生变化，一定要有使其向前的力，如下图所示，在悬停的基础上增加后面翅膀的转速使得升力增大，减小前面翅膀的转速使得升力减小，如此四旋翼飞行器的身体便会产生倾斜，翅膀的升力差便会产生向前的分量，四旋翼飞行器便可以向前飞行了同时，要想实现飞行器在水平面内前后、左右的运动，必须在水平面内对飞行器施加一定的力在下图中，增加电机3转速，使拉力增大，相应减小电机1转速，使拉力减小，同时保持其它两个电机转速不变，反扭矩仍然要保持平衡按图b的理论，飞行器首先发生一定程度的倾斜，从而使旋翼拉力产生水平分量，因此可以实现飞行器的前飞运动向后飞行与向前飞行正好相反6. 本文总结本章通过分析四旋翼直升机的动力学机制，运用已知的物理定律和方程来建立表征系统动态过程的数学模型微小型四旋翼直升机以其新颖的外形，低廉的成本，简单的结构，卓越的性能，独特的飞行方式以及在军用和民用方面广阔的应用前景吸引着广大科研人员，成为国际上研究的热点。

目前国外在这方面的研究正处在发展阶段，而国内则处于起步阶段，发展的空间还很大，很多问题有待我们去研究解决由于精力和时间的有限，本文对微小型四旋翼直升机的研究还处于很初级的阶段，还有很多问题有待进一步深入探讨我们在建立系统数学模型时没有用旋翼空气动力学等理论进行详细的。