中考数学总复习《等腰三角形存在性问题》专项检测卷(含答案).docx

中考数学总复习《等腰三角形存在性问题》专项检测卷(含答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．综合与探究在菱形中，过点A作射线交于点E，作，交射线于点G，在射线上截取，连接．特例探究：（1）如图1，当时，请直接写出的度数；操作探究：（2）如图2，当是等边三角形时，求的度数；拓展探究：（3）如图3，当时，请直接写出，和之间的数量关系．2．【课本再现】（1）如图1，在等腰中，，，平分交于点，，于点，则的长为________．【类比探究】（2）如图2，是的角平分线，，，点在上，．则线段、、之间的数量关系为________．【拓展延伸】（3）如图3，点是等边外一点，连结，，，恰好满足，平分交于点，线段，，之间有什么关系？请作出猜测并进行证明．3．综合与实践如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接．【观察猜想】（1）当点段上时，通过图形旋转的性质可知______，______度；【探究证明】（2）如图2，当点在延长线上时，探究线段，，的关系，并说明理由；【拓展延伸】如图3，在中，，，平面内任一点，且，将线段绕点顺时针旋转得，请直接写出的最大值和最小值．4．如图，等边的边长为6，为边上一点，于点．【初步感知】（1）如图1，若，求的长．【深入探究】（2）如图2，线段的垂直平分线交于点，点为的中点，连接，求证：．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若，求与之间的关系．5．若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”．【概念理解】（1）点段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________．【性质探究】（2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”．【拓展应用】（3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长．6．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，，D为上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，分别延长，相交于点G，连接．  观察发现：（1）①与的数量关系为_______________；②四边形的形状为_______________；深入探究：（2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明．拓展应用：（3）如图2，若射线恰好过的中点O，且，请直接写出的长．7．【综合与实践】问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D、E分别是点B、C的对应点），旋转角为，设线段交于点P，线段分别交、于点F、Q，如图2．特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为___________；探究规律：在绕点A逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论．拓展延伸：（1）在绕点A逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数．（2）在图3中，作射线、交于点M，四边形的面积记为，的面积记为，是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角α的度数，及此时的值；若不存在，请说明理由．8．如图，，平分，点 在上，，于点．【思考尝试】（1）如图1，小明同学连接，提出问题：若 ，，求的长度；【实践探究】（2）小丽同学受此问题的启发，思考并提出新的问题：如图，作，此时 ，求证：；【拓展迁移】（3）小聪深入研究小丽提出的问题，继续研究发现并提出新的探究点：如图3，在（2）的条件下，在上取一点，使得，作，连接、，求证：．9．【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________；【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由；【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________．【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数．10．如图1，在等腰三角形中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，N，P分别为，，的中点．(1)观察猜想图1中，线段，的数量关系是 ，的大小为 ；(2)探究证明把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．11．综合与探究：在中，，为的中点，的两边分别交直线，于点，，且．【问题探究】如图1，若，点段上，点段上，(1)判断与的数量关系是 ．(2)求证：；【拓展延伸】(3)若，，连接，当时，求的长．12．综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动．如图，长方形中，是射线上一点，将沿折叠后得到．【初步探究】如图1，段上，过点作的平行线交，的两边于，，若，，求的长；【深入探究】如图，段的中点上，延长交于点，若，试说明与满足的数量关系；【拓展延伸】若，，连接，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的长．13．如图所示，在中，，点为射线上一动点，作，过点作，交于点，连接（点A、在的两侧）．【问题发现】（1）如图所示，若时，、的数量关系为_____，直线、的夹角等于 ；【类比探究】（2）如图所示，若，求线段、的数量关系， 及直线、 的夹角；【拓展延伸】（3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．14．探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，．(1)①如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______；②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(2)拓展：如图3，在中，，，点、均在边边上，且，若，求的长．参考答案1．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据菱形的性质可得，证明，推出，再根据时，菱形是正方形，可得，推出，易求，进而求出；即可得出结果；（2）同理（1）得，由是等边三角形，可得，再根据菱形的性质可得；（3）过点B作于点H，同理（1）得，则，同理（2）得，求出，易得，利用勾股定理求出，进而得到，再根据，即可得出结论．【详解】解：（1）∵菱形，∴，∵，∴，∴，∵，∴菱形是正方形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）同理（1）得，∵是等边三角形，∴，∵菱形，∴；（3），理由如下：如图，过点B作于点H，同理（1）得，∴是等腰三角形，∴，同理（2）得，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．2．（1）；（2）；（3），证明见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是关键．（1）证明，得到，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理求得的长度，再求出，即可求解；（2）证明，则易得，从而求证；（3）在上找一点，使得．证明，则易得是等边三角形．即可证明猜测成立．【详解】解：平分，．，，∵，，∴，是等腰直角三角形，，，∵，∴是等腰直角三角形，，，；（2）证明：是的角平分线，．，．．，，，．（3）解：，证明如下：在上找一点，使得．是等边三角形，，．，．．平分，．，是等边三角形．，．3．（1），；（2），见解析；（3）最大值是，最小值是【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；（2）根据题意，运用边角边证明即可求解；（3）根据题意得到，，如图所示，过点作，交延长线于点，连接，证明，进而可得当点运动到点的位置时，是最大值，当点运动到点的位置时，是最小值，由此即可求解．【详解】解：（1）旋转的性质可知，，故答案为：，；（2），理由如下，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴；（3）∵，∴，，如图所示，过点作，交延长线于点，连接，∴，，∴是等腰直角三角形，，，∵旋转，∴，，∴，即，又，∴，∴，∵，∴当点运动到点的位置时，是最大值，当点运动到点的位置时，是最小值，∴最大值是，最小值是．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判和性质，线段最值的计算方法，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键．4．（1）；（2）详见解析；（3）【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．（1）求得，再计算出的长，再利用勾股定理即可解答；（2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明即可解答；（3）根据（2）得到，过点作于点，过点作于点，证明，得到，，再利用勾股定理即可解答．【详解】解：（1）在等边中，，，，，，， ，在中，；（2）证明：如图，延长至，使，连接， 点为的中点，，在和中，，，，，，，，， 是等边三角形，，，，， ，点段的垂直平分线上，，，，，在和中，，，，，，是等边三角形，，（3）解：为等边三角形且，，在中，，即，如图，过点作于点，过点作于点，为等边三角形，，，，，，，且点为的中点，，，，， 在中，， ．5．（1）或 （2）见解析 （3）或【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点与点在同侧；情况二：点与点在异侧；计算即可解答；（2）证明得，，再结合均为等腰三角形，其中，即可得证；（3）分两种情况讨论：当点段上时，如解图所示，连接；当点段的延长线上时，如解图所示，连接；综上即可解答．【详解】．解：（1）情况一：点与点在同侧，点、 关于互为“唯美点”，且，，又点段的垂直平分线上，，，，，则；情况二：点与点在异侧，点、 关于互为“。