第三讲 坐标变换.docx

第一节 综合相量和坐标变换3-1-1 三相电磁量的综合相量 对于三相系统，一般多用单参考轴三相量法表示三相电磁量这里，介绍表示三相电磁 量的三参考轴单相量法图 3-1 中的 a 、 b 、 c 三相坐标是固定在发电机定子（电枢 ） 空间的坐标系统，这是三参考 轴排列顺序为，逆时针方向b相超前a相2兀/3 , c相有超前b相2兀/3需要说明，与 其对应，逆时针方向也作为发电子转子旋转的正方向图3-1 三相电磁量的综合相量如某瞬间，三相绕组的电流瞬时值为i、ii，而其代数和为零（无零序电流），即 abci + i + i =0abc如在三相轴线上用有向线段表示这三个电流（参阅图 3-1），则在这一坐标平面上存在一电流相量i = iej它的端点在三相绕组轴线上的投影为i、i、i相量i与三相电流i、i、i间的关 a b c a b c系为：i =icosPa< i = i cos( P - 2兀 /3)bi = i cos( P + 2兀 /3)c(i 2 + i 2 + i 2)a b c众所周知，如三相电流是一组随时间正弦变化的正序电流，则其电流综合相量i的端点 在上述空间随时间移动的轨迹为一个圆，其旋转方向为逆时针方向；如三相电流是一组负序 电流，则其电流综合相量i的端点随时间移动的轨迹也是一个圆，但其旋转方向为顺时针方 向。

一般讲，有一组随时间连续变化的三相电流，它满足i +i +i =0，即无零序电流，其综 abc合相量端点在图3-1所示a、b、c三相坐标平面上移动的轨迹也是连续的这说明三相电流可以用一个相量表示零序量不能用综合相量表示，这是综合相量不足之处，零序量的存在只能在数学模型中 反应综合相量与三相电流的关系，还可以用下式表示i = i + ai + a 2ia b c式中，算子a = ej2©33-1-2 三相电磁量综合相量的分解和合成总所周知，相量可以分解和合成，它反映了三相电磁量瞬时值的分解和合成5-6)(5-7)ic,ni = i + ic c , m c, n即一组三相电流i、a如果相量，和，以发电机的转速®运动，它就是d、q、0坐标系统如果相量，和，固 m n m n图3-2 电流综合相量的分解和合成图3-2为电流综合相量的分解和合成图中相量i为相量i和，的相量和，用公式表示i = i +imn上式相当于i = i + ia a ,m a ,n< i = i + ib b,m b,n定在定子上的直角坐标系统，它就是a、0、0坐标系统如果相量i和i以发电机的额 mn定转速®0运动，它就是x、y、0坐标系统。

图3-3所示d、q、0和a、0、0坐标系统与a、b、c坐标系统之间的关系式中，i 二[i iabc a bi ]Tci = [idq 0 di i ]Tq0i = [ i i i ]Tap 0 a p 0cos 0一 sin 01/ 2i = Pidq 0 abci = P - iiabc dq 0i = Ciap 0 abci = C - iiabc ap 0cos(0 一2兀 /3) cos(0 + 2兀 /3)-sin(0 - 2兀/3) -sin(0 + 2兀 /3)1/ 2 1/ 2cos0P-1 = cos(0 - 2兀 /3) cos(0 + 2兀 /3)-sin0 1-sin(0 -2兀/3) 1-sin(0 + 2 兀/3) 1101/2-1/2訂/21/2-1/2-J3/21/21 0 1C-1 = -1/2 屈 2 1-1/2 -$3/2 1式中，P和C分别为派克(Park)变换矩阵和克拉克(Clarke)变换矩阵，P-1、C-1是他们 的逆变换矩阵变换矩阵P中的0为转子d轴与定子a轴间的角度,C变换是0 = 0时的P变换d、q、0和a、p、0坐标系统与x、y、0坐标系统之间的关系'i = Sixy 0 ap 0i = S-1iap 0 xy 0• rrr •i = Tixy 0 dq 0i = T-1idq 0 xy0其中cos g sin g 0S = - sin g cos g 00 0 1cos g- sin g0_S -i =sin gcos g0001sin 8cos 80_T=-cos 8sin80001cos 8-sin80 _T-1=sin 8cos 80001式中，E为x对«轴的角度，8为q轴对x轴的角度。

3-1-3 网络元件的数学模型1．电阻-电感串联支路的数学模型图3-4 电阻-电感串联支路如 3-4 为三相 R-L 串联支路 R 为各相输电线的电阻， L 为每相输电线的电感， M 为各相输电线相间的互感设输电线三相对称，用a、b、c坐标表示，则该输电线的数学模型为uabc+ U'abc二 R - i + L p - iabc abc abcL ML = M LabcM M式中：u为始端三相电压列向量；u'为末端电压列向量，i为三相电流列向量，R为abc abc abc输电线电阻对角阵； L 为输电线电感系数矩阵abc在电力系统动态仿真中，对输电网络用Q、卩、0坐标比较合理用Q、卩、0坐标表示，则该输电线的数学模型为u = R i + L p - i + u'邓0 aP 0邓0 aP 0 u卩0 邓0其中 u = [u u u ]t， u' = [u' u u ]t， i = [i i i ]taP 0 a P 0 aP 0 a P 0 aP0 a P 0R = diag{R R R } , R = diag{L L L }ap) 0 ap) 1 1 0式中：u 为始端三相电压列向量；u 为末端电压列向量，i俣为三相电流列向量,ap0 ap0 ap0R为输电线电阻对角阵；L 为输电线电感系数矩阵。

此外，L — L — M和L — L + 2M分 ap0 1 1别为输电线的正序和零序电感对于代表恒定阻抗负荷的R-L对地支路，令末端电压为零即可就是说，当用a、b、c坐标时，其数学模型为u — R i + L p - iabc abc abc abc如三相负荷阻抗间无互感，则L 中的互感系数M为零当用a、p、0坐标时，其数abc学模型为u — R i + L p - iap 0 ap 0 ap 0 ap 0 ap 0且有 L — L — L012．串联电容支路的数学模型图3-5 串联电容支路当用a、b、c坐标时，在图3-5中所示三相对称串联电容支路的数学模型为Cp(u — u' ) — iabc abc abc式中C — diag{C C C},其他符号含义同前当用a、卩、0坐标时，图3-5所示三相对称电容支路的数学模型为Cp(u — u ) — iap 0 ap 0 ap 03．并联电容支路的数学模型通常将输电线电容分为线间电容C和对地电容C，如图3-6所示mn当用a、b、c坐标时，输电线对地电容支路的数学模型为i — i = c puabc abc abc abc2C + CC 二abcmn—Cm—Cm—Cm2C + Cmn—Cm—Cm—Cm2C + Cmn式中i和i为并联电容前后输电线三相电流列向量，u为并联电容的三相电压列向量; abc abc abcC 为电容矩阵。

abc当用卩、0坐标时，输电线对地电容支路的数学模型为i — i = C pu邓0 邓0 邓0 邓0C = diag{3C + C 3C + C C }aft m n m n n式中i和i为并联电容前后输电线三相电流列向量，u依为并联电容的三相电压列向 p 0 ap 0 afb量；C p为电容对角阵3-1-4 电源的数学模型对于无限大功率电源，a、b、c坐标时有u = U sin( ®t + a)a m< u = U sin( rot + a— 2兀 /3)bmu = U sin(rot + a + 2兀 /3)cma、P、0坐标时有u = U sin( ro t + a)a m< u = U cos( rot + a)pmu = 00d、 q、 0 坐标时有u = U sin( a)a m< u = U cos( a)P mu = 00第二节 简单三相对称电路的数字仿真图 3-7 是由无限大功率电源和三相对称的电阻、电感元件组成的简单电路本节对图中K 点发生三相短路的情况进行解析分析和仿真计算图3-7 无限大功率电源供电系统的三相短路分析3-2-1 解析分析 无限大功率电源是内阻抗为零的三相对称争先交流电压源，其 a、b、c 三相电压的表达 式为：u = U sin(®t + a)a m< u = U singt + a - 2兀 / 3)bmu = U sin(®t + a + 2兀 /3)cm式中：U ,a分别为电压的幅值、角频率和初相位角，均为标么值。

m 三相短路后整个电路被分割成两个独立的部分图3-1中的左半部分在电源的作用下三相电流将逐渐过渡到正弦稳态值，右半部分没有电源，其三相电流将逐渐衰减至零这里仅 讨论左半部分的暂态过程电阻R、电感L支路的动态过程可由下列微分方程组描述u = Lpi + Ria a a< u = Lpi + Rib b bu = Lpi + Ric c c式中 L、R 三相电路电感和电阻的标么值；i ,i ,i ——a、b、c三相电流的标么值；abc假定短路前电路处于稳态，三相电流 i ,i ,i 的表达式为： abci = I | |Sin@t+9 )a m bl 0< i = I sin(®t+9 — 2兀 / 3)b m 0 0m 01sin(®t +9 + 2兀 /3)0m 0 貞R + R')2 2( L + L')2L + L')0 =a-tg-i -0 R + R'式中：I |为短路前三相稳态电流的幅值；0为短路前稳态电流的相位角 m 0 0三相电流初始值0, 0, 0为i = I sin(0 )a 0 m 0 0< i = I . |Sin(0 -2兀 /3)b 0 m 0 0i = I .. sin(0 + 2兀 /3)、c 0 m 0 0三相短路后三相电路仍是对称的，而且a、b、c三相之间无耦合，所以各相的微分方程 彼此独立，可以分别单独求解。

以a相为例，其微分方程为常系数线性非齐次微分方程(3-1)Ri + Lpi = U sin@t+a)a a m根据高等数学的有关知识可知，其解为齐次方程的通解 i 与方程式的任意一个特解ahi 之和通解为ap-Ri = ce lah式。