2023年阿氏圆问题全面汇总归纳.pdf

1 阿氏圆题型的解题方法和技巧 以阿氏圆( 阿波罗尼斯圆) 为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现， 对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下： 阿氏圆定理( 全称：阿波罗尼斯圆定理) ，具体的描述：一动点 P到两定点 A、B的距离之比等于定比nm( ≠1) ，则 P点的轨迹，是以定比nm内分和外分定线段 AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆． 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB ，(k ≠1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+kPB,(k≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 【问题】在平面直角坐标系 xOy 中，在 x 轴、y 轴分别有点 C(m，0) ，D(0，n). 点 P是平面内一动点，且 OP=r，求 PC+kPD的最小值. 阿氏圆一般解题步骤： 第一步：确定动点的运动轨迹( 圆) ，以点 O为圆心、r 为半径画圆；( 若圆已经画出则可省略这一步) 第二步： 连接动点至圆心 O(将系数不为 1 的线段的固定端点与圆心相连接) ， 即连接 OP 、 OD ； 第三步：计算出所连接的这两条线段 OP 、OD长度； 第四步：计算这两条线段长度的比 k； 第五步：在 OD上取点 M ，使得 OM:OP=OP:OD=k ； 第六步：连接 CM ，与圆 O交点即为点 P．此时 CM即所求的最小值. 【补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把 k 提到括号外边，将其中一条线段的系数化成k1，再构造△相似进行计算】  2 习题 【旋转隐圆】如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90 °，D为 AC的中点，M为 BD的中点，将线段AD绕 A点任意旋转（旋转过程中始终保持点 M为 BD的中点），若 AC=4 ，BC=3 ，那么在旋转过程中，线段 CM长度的取值范围是___________. 1.Rt △ABC中，∠ACB=90 °，AC=4 ，BC=3 ，点 D为△ABC内一动点，满足 CD=2 ，则 AD+32BD的最小值为_______. 2. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，锐角大小为 60°，⊙A与 BC相切于点 E，在⊙A上任取一点 P，则 PB+23PD的最小值为________. 3. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B=60°，圆 B的半径为 2， P为圆 B上一动点， 则 PD+21PC的最小值为_________. 4. 如图，点 A，B在⊙O上，OA=OB=12,OA ⊥OB ，点 C是 OA的中点，点 D在 OB上，OD=10.动点 P在⊙O上，则 PC+21PD的最小值为_______. 5. 如图，等边△ABC的边长为 6，内切圆记为⊙O，P是圆上动点，求 2PB+PC的最小值. 6. 如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为⊙O，P是圆上的动点，求2PA+PB的最小值. 7. 如图，边长为 4 的正方形，点 P 是正方形内部任意一点，且 BP=2 ，则 PD+21PC的最小值为______；2PD+4PC的最小值为______. 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，A(2，0) ，B(0,2) ，C(4，0) ，D(3，2) ，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135 °，则 2PD+PC的最小值是_______.  3 9. 在△ABC中，AB=9 ，BC=8 ，∠ABC=60 °，⊙A的半径为 6，P是⊙A上的动点，连接 PB、PC，则 3PC+2PB的最小值为_______. 10. 如图，在 Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8 ，以 C为圆心，4 为半径作⊙C． (1) 试判断⊙C与 AB的位置关系，并说明理由； (2) 点 F是⊙C上一动点，点 D在 AC上且 CD=2 ，试说明△FCD ～△ACF ； (3) 点 E是 AB上任意一点，在(2) 的情况下，试求出 EF+21FA的最小值. 11.(1) 如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B的半径为 2，点 P是圆 B上的一个动点，求 PD+21PC的最小值和 PD-21PC的最大值； (2) 如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B的半径为 6，点 P 是圆 B上的一个动点，那么 PD+32PC的最小值为______，PD-32PC的最大值为______． (3) 如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B=60°，圆 B的半径为 2，点 P 是圆 B上的一个动点，那么 PD+21PC的最小值为______，PD-21PC的最大值为________.  4 12. 问题提出：如图 1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90 °，CB=4 ，CA=6 ，⊙C半径为 2，P为圆上一动点，连结 AP 、BP，求 AP+21BP的最小值． (1) 尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB上取点D，使 CD=1 ，则有21CBCPCPCD，又∵∠PCD= ∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴21BPPD， ∴PD=21BP ，∴AP+21BP=AP+PD ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+21BP的最小值为________． (2) 自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，31AP+BP的最小值为_______． (3) 拓展延伸：已知扇形 COD中，∠COD=90 °，OC=6 ，OA=3 ，OB=5 ，点 P是弧 CD上一点，求2PA+PB的最小值. 【二次函数结合阿氏圆题型】 13. 如图 1，抛物线 y=ax² +(a+3)x+3 （a≠0）与 x 轴交于点 A （4，0），与 y 轴交于点 B，在x 轴上有一动点 E（m ，0）（0＜m ＜4），过点 E作 x 轴的垂线交直线 AB于点 N，交抛物线于点 P，过点 P作 PM ⊥AB于点 M ． (1) 求 a 的值和直线 AB的函数表达式； (2) 设△PMN 的周长为 C1，△AEN的周长为 C2，若5621CC，求 m的值； (3) 如图 2，在（2）条件下，将线段 OE绕点 O逆时针旋转得到 OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接 E′A、E′B，求 E′A+32E′B的最小值．  5 问题背景：如图 1，在△ABC中，BC=4 ，AB=2AC ． 问题初探：请写出任意一对满足条件的 AB与 AC的值：AB=_____ ，AC=_______ ． 问题再探：如图 2，在 AC右侧作∠CAD= ∠B，交 BC的延长线于点 D，求 CD的长． 问题解决：求△ABC的面积的最大值．  6 1. 小明的数学探究小组进行了系列探究活动． 类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形． 探索理解： (1) 如图 1，已知 A、B、C 在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点 D，连接 DA 、DC ，使四边形 ABCD 为邻等四边形； 尝试体验： (2) 如图 2，邻等四边形 ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=120 °，∠ADC=60 °，AB=2 ，BC=1 ，求四边形 ABCD 的面积． 解决应用： (3) 如图 3，邻等四边形 ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=75 °，∠ADC=60 °，BD=4 ． 小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图 3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形 ABCD 面积的最小值；如果不能，请说明理由． 2. 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1) 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件． (2) 如图 2，等邻边四边形 ABCD 中，AB=AD ，∠BAD+ ∠BCD=90 °，AC 、BD为对角线，AC=2AB ，试探究 BC ，BD的数量关系． (3) 如图 3， 等邻边四边形 ABCD 中， AB=AD ， AC=2 ， ∠BAD=2 ∠BCD=60 °， 求等邻边四边形 ABCD面积的最小值. 。