高等代数研究生入学考试试题按学校分类一.doc

高等学校攻读硕士学位研究生入学考试高等代数试题集锦陈德华编嘉应学院数学学院二 00九年七月2目 录bjsfdx北京师范大学(2003,2004)gxdx广西大学(2004,2005,2006,)gxsfdx广西师范大学(2003,2004,2005，)gzdx广州大学(2003,2004,2005，)hebgydx哈尔滨工业大学(2009,)hnlgdx华南理工大学(2005，2006,2009，)hnsfdx华南师范大学(2002，2003,2007，)hnsfdx 湖南师范大学(2000，2001,2002，)hzkjdx华中科技大学(2004,)hzsfdx华中师范大学(2006,)kmlgdx昆明理工大学(2008,)lzdx兰州大学(2002,)nkdx南开大学(2003,2005,2006)stdx汕头大学(1998，1999,2000,2002,2003,2004,2005，)sxdx三峡大学(2006,)sxsfdx陕西师范大学(2005,)szdx深圳大学(2004,)xadzkjdx西安电子科技大学(2001,)xbdx西北工业大学(1999(1),1999(2), 2000(1),2000(2)，2004，)xmdx厦门大学(2004,)xndx西南大学(2006,)zgkxy中国科学院(1996,1997,2003)3北京师范大学2003年1．(1) 计算排列 87162534的逆序数，并依次写出将上述排列变成12345678的所有对换。

2) 设 个数码的排列 的逆序数是 ，那么排列 的nnii,,121 k12,,iin逆序数是多少？请说明理由2．设 001010)(nJ是数域 上的一个 阶若当块，试写出与 可交换的域 上的全体 阶矩阵Fn)(nJFn3．一个大于 1的整数若其因子只有 1和本身，则称之为素数证明 是素p数当且仅当任取正整数 ，若 ，则 或 ba,p|a|bp|4．已知 xefxefxef aaa cos,sin,cos321 bbbx inco1in2654是六个实函数，它们生成的子空间记作 说明维商 是 上的一个线性变换，VDV并求 在基 下的矩阵D654321,,ff5．设域 上的 维线性空间 的一个线性变换 在基底 下的Fnn,21矩阵为 001100121naaA4(1) 求 的特征多项式；(2) 维向量空间 有循环基底吗？若有，试求之；nV(3) 求 的极小多项式并说明理由6．设 是一个数域， 是 上的未定元，二阶 矩阵FF)()(221aA其中 ， 是域 上的一元多项式环运用带余除法证明2,1][jiaij][可通过行与列三种初等变换(其中第三种变换允许将某行(列)乘以 中A ][F的多项式加到另一行(列)上)化为 )()(21cOC的形式，且 。

)(|21cz2004年1．试用 元初等对称多项式 表述下列多项式n nkxkii,21,1 L(1) ；21)(,x(2) ，此处 表示对脚标进行所有可能的 元置换后对不同的项2 n求和；(3) 41x2．设变换 定义为2:Rzyxz2(1) 证明 是一个线性变换；(2) 求出 在下述基底下的矩阵： 10,,0132ee5(3) 求出 在下述基底下的矩阵：10,2,13(4) 写出从 到 的过渡矩阵321,32,e3．已知线性方程组 2421312bxa(1) 求出系数矩阵的秩；(2) 给出方程组有解的充分必要条件4．令实二次型 ,其中 ,AXxn'21),( '21' )(,)(nnij xXa设 与 分别是 的最大与最小特征值则对任意的 个实数12A均有nbb,, )()()()( 2212'2121221 nnnn bbbAb  5．令 是一个 维欧氏空间， 是 的一个标准正交基， 是V, V的一个线性变换， 是 关于这个基的矩阵，证明nijaA)(.,21,),(njijiji 6．设 是 维向量空间 的一个线性变换， 是 的nVsrxxp)()(极小多项式，此处 和 是不同的复数。

令 }0)(|{)ker(},0)(|{)ker(   rrrr VVV证明：(1) 和 都是 的不变子空间；(2) ；(3) 的极小多项式是 ， 的极小多项式是 V| rx)(V| sx)(6广西大学2004年1．计算行列式 nnnxaxaaD321321其中， iaxi ,21,2．已知 是一个非零矩阵，且 的每一个列向量都是方程组BB03231x的解1) 求 的值；(2) 证明 |B3．设 是两两互异的整数，试证明多项式na,21 1)()()(21naxaxf在有理数域上不可约4．设 是 矩阵，且 ( 是 级单位矩阵)，BA,nEBA2，证明 不是可逆矩阵0||5．设 是一个 维欧氏空间， 是 中一个固定的向量，证明V0V(1) 是 的一个线性子空间；},0),(|{1(2) dim n6．设 为 级实对称矩阵， ， 的秩等于 AA2 )0(nr(1) 证明存在正交矩阵 ，使TOEr1其中 是 级单位矩阵；rE7(2) 计算 2|nEA7．设 为两个 矩阵， 的 个特征值两两互异，若 的特征向量恒B,AnA为 的特征向量，证明 。

B8．证明数域 上的 维线性空间 的任一子空间都是某一线性变换的核FnV9．设 是数域 上的 维线性空间， 是 的线性变换， 是 的两V21,V个非平凡子空间，且 ，试证明 是可逆线性变换的充要条件是21)(212005年1．计算行列式 xaxaDn00110012102．已知矩阵， 2103A130B矩阵 满足 ，求 XXB23．当 为何值时，线性方程组ba, 4231xba有唯一解，无解，有无穷多组解？在有无穷多组解时求其全部解4．设有 个 维向量 ，其分量满足sn ))(,,(21nsiainii sjij j,1||证明这 个向量线性无关s85．设 是 维线性空间 的两个子空间，证明21,WnV(1) 若 均是 的两个非平凡子空间，则存在 ，使21, V同时成立211,(2) 若 ，则 或 1)dim()di(2121 W211W6．设 },2,,0|),{( 2121 niPkxkxPxV inn  }|),{(212 nn证明，若 ，则 021nkk 21V7．设 ， ，且 与 不全为零，证明)()(1xfdxf)(xgd)(fxg是 ， 的一个最大公因式的充分必要条件是 。

)(dg 1)(,8．设 都是 阶实对称矩阵，证明BA,n(1) 若 都是正定矩阵且 ，则 是正定矩阵；BA(2) 如果 与 均为半正定矩阵，则 B9．设 是 维线性空间 的两个子空间，且其维数之和为 ，证明存21,WnVn在 的线性变换 ，使 Ker ， V12)(W2006年1. 设 ，证明 当且仅当 ba)(|)(xfbax0)(bfaf2.设 为 4阶方阵且 ， ，求A6|A),,43212,3,2| 41133. 设 为 阶方阵， 是 维列向量且 ， ，n321,n011A， ，试证明 线性无关212A323A4. 设 为 阶方阵，证明秩( ) 秩( )nA1n5. 求齐次线性方程组905412531x的解空间的一组标准正交基6. 若 ，则称 是 的一个左逆，证明nmnEABmnBnA(1) 有左逆的充要条件是 的列向量线性无关；(2) 的左逆唯一当且仅当 可逆nm nm7. 设 为 阶方阵，且存在可逆阵 使 ，证明BA, PAB1(1) 有相同的特征值；(2) 相同的特征值的特征子空间的维数相等。

8. 设 为 维线性空间， 是 上的线性变换，证明 是数乘变换充要条VnV件是 中每个一维子空间都是 子空间9. 设 为实満秩方阵，求证A(1) 正定；'(2) 存在正交阵 使 ，其中 QP, ),(211ndiagA nii ,21,010. 设 为 阶方阵，则存在与对角矩阵相似的矩阵 与幂零矩阵 使An BC且 CBAB10广西师范大学2003年1. 计算题1) 求 阶行列式 的值nnDxzyxzyn2) 令 表示数域 上三元列空间，取 ，设 是 的一3F 731A3F个线性变换，对任意 ，有 ，求 Ker ，Im 及它们的维数3)()()(3) 设矩阵 ，又 ， 有一个特征值 ，且属于acbA01351|A0的一个特征向量为 ，求 的值00,c2. 下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例1) 设 是三个 矩阵，若 ，且 ，则 ；CBA,nOCBCA2) 若 阶行列式 ，则 中一定有一行是其余各行的线性组合；n0D3) 若欧氏空间中的向量 构成一个正交组，则 一定r,21 r,21线性无关；4) 用正交变换方法将一个实二次型 化为标准型，此标准型),(21nxf是唯一的。

3. 设 是有理数域上的多项式，已知 不可约且 的一个根)(,xgf )(f)(xf(在复数域内的根)也是 的根，证明 的所有根都是 的根)(xfg114. 设在实平面上有三条不同的直线， ，0:1cbyaxl 0:2acybxl 0:3baycxl证明它们相交于一点的充要条件是 5．设 是向量空间 的线性变换，且 ，但 不是恒等变换 令V2 ，})(|{vvU })(|{vVW证明 都是 的子空间，且 W, 6．证明每个循环群都同构于整数加群 的一个商群Z7．假定 ，令 ，证明 GNH, },|{NnHhG8．证明整数环 的一个理想 是最大理想当且仅当 是由一个素数生成的ZII9．设 和 是环 的两个理想，且 ，令 ，证明IJRJI}|{JaI是 的理想且 IJRJI2004年1. 填空题1) 若 整除 ，则 ， ；2)1(x124BxAAB2) 已知 及 ( 为单位矩阵)，则 02E2 |B；3) 设 是线性方程组 的 3个解向量， ，秩 ，又321,bAX0b2A， ，103 0123012则 的通解为 。

bAX4) 若向量组 中的每个向量都可以由它的一个部分向量组s,2112唯一地线性表示，那么向量组 的秩是 iti,,21 s,212. 计算题1) 计算 阶行列式的值n baabaDn  2) 设 ， ， ，其中4RV),(321LW),(212L021，求1020313与 的基和维数1W23) 已知实二次型 ，求23231212321),( xxxxf 出正交变换 ，化二次型为标准形，进而写出此二次型的典范形UYX3. 下列命题是否正确？肯定的给。