2001年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷.pdf

第 1 页 共 25 页2002001 1 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 《数学三《数学三》试题》试题一、填空题一、填空题(1) 设生产函数为QAL K, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A, α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以tW表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则tW满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111kkAkk   且秩(A)=3,则k =(4) 设随机变量X,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式-6P X Y .(5) 设总体X服从正态分布2(0,0.2 ),N而1215,,XXX是来自总体X的简单随机样本， 则随机变量22 110 22 11152XXYXX 服从___分布，参数为_______二、选择题二、选择题(1)(1) 设函数设函数f f( (x x) )的导数在的导数在x x= =a a处连续处连续, ,又又'( )lim1, xafx xa 则则( () )(A) x = a 是f (x)的极小值点.(B) x = a 是f (x)的极大值点.(C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点.(D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.(2)(2) 设函数设函数 0( )( ),xg xf u du其中其中21(1),012( ),1(1),123xx f x xx 则则g g( (x x) )在区间在区间(0,2)(0,2) 内内第 2 页 共 25 页( () )(A)无界(B)递减(C) 不连续(D) 连续(3) 设设11121314141312112122232424232221 1 3132333434333231414243444443424100010100,,,00101000aaaaaaaaaaaaaaaaABPaaaaaaaaaaaaaaaa   210000010,01000001P   其中其中A 可逆可逆,则则1B等于等于()(A)1 12A PP(B)1 12PA P(C)1 12PP A(D)1 21P A P.(4)(4) 设设A A是是n n阶矩阵，阶矩阵，αα是是n n维列向量维列向量. .若秩若秩0TA秩秩(A)，则线性方程组，则线性方程组( () )(A)AX =α必有无穷多解( )BAX =α 必有惟一解.( )C00TAXy仅有零解()D00TAXy必有非零解.(5)(5) 将一枚硬币重复掷将一枚硬币重复掷n n次次, ,以以X X和和Y Y分别表示正面向上和反面向上的次数分别表示正面向上和反面向上的次数, ,则则X X和和Y Y的相的相关系数等于关系数等于( () )(A) -1(B) 0(C)1 2(D) 1三三 、、(本题满分本题满分5 分分)设设u u= =f f( (x x, ,y y, ,z z) )有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数, ,又函数又函数y y= =y y( (x x) )及及z z= =z z( (x x) )分别由下列两式确定分别由下列两式确定: :2xyexy和和 0sin,x zxtedtt求求du dx第 3 页 共 25 页四四 、、( (本题满分本题满分6 6 分分) )已知已知f f( (x x) )在在( (−∞∞,+,+∞∞) )内可导内可导, ,且且lim '( ), xf xe lim()lim[ ( )(1)],xxxxcf xf xx c求求c c的的值值. .五五 、、( (本题满分本题满分6 6 分分) )求二重积分求二重积分221()2[1]xyDyxedxdy的值的值, ,其中其中D D是由直线是由直线y y= =x x, ,y y= = −1 1及及x x=1=1围成的平面围成的平面区域区域第 4 页 共 25 页六、六、( (本题满分本题满分7 7 分分) )已知抛物线已知抛物线2ypxqx( (其中其中p p0)>0)在第一象限与直线在第一象限与直线x x+ +y y=5=5相切，且此抛物线相切，且此抛物线与与x x轴所围成的平面图形的面积为轴所围成的平面图形的面积为S.S.(1)(1) 问问p p和和q q为何值时，为何值时，S S达到最大达到最大? ?(2)(2)求出此最大值求出此最大值. .七、七、( (本题满分本题满分6 6 分分) )设设f f( (x x) )在区间在区间[0,1][0,1]上连续上连续, ,在在(0,1)(0,1)内可导内可导, ,且满足且满足1 13 0(1)( ),(1).xfkxef x dx k证明：存在证明：存在ξ∈ξ∈(0,1),(0,1), 使得使得1'( ) 2(1) ( ).ff第 5 页 共 25 页八、八、( (本题满分本题满分7 7 分分) )已知已知( )nfx满足满足'1( )( )nx nnfxfxxe( (n n为正整数为正整数) )且且(1),nefn求函数项级数求函数项级数1( )n ifx之和之和. .九、九、( (本题满分本题满分9 9 分分) )设矩阵设矩阵11111 ,1.112aAaa  已知线性方程组已知线性方程组AXAX= =ββ有解但不唯一有解但不唯一, ,试求试求: :(1)(1)a a的值的值; ;(2)(2) 正交矩阵正交矩阵Q,Q,使使TQ AQ为对角矩阵为对角矩阵. .第 6 页 共 25 页十、十、( (本题满分本题满分8 8 分分) )设设A A为为n n阶实对称矩阵，秩阶实对称矩阵，秩(A)=n(A)=n，，ijA是是ijn nAa中元素中元素ija的代数余子式的代数余子式( (i i, ,j j=1,2,=1,2,……, ,n n) )，二次型，二次型12 11( ,,).nnij nij ijAf x xxx xA(1)(1) 记记12( ,,),nAx xx把把12 11( ,,).nnij nij ijAf x xxx xA写成矩阵形式，并证明二次写成矩阵形式，并证明二次型型()f X的矩阵为的矩阵为1A; ;(2)(2) 二次型二次型()Tg XX AX与与()f X的规范形是否相同？说明理由的规范形是否相同？说明理由. .第 7 页 共 25 页十一、十一、( (本题满分本题满分8 8 分分) )生产线生产的产品成箱包装生产线生产的产品成箱包装, ,每箱的重量是随机的每箱的重量是随机的, ,假设每箱平均重假设每箱平均重5050 千克千克, ,标准标准差为差为5 5千克千克. .若用最大载重量为若用最大载重量为5 5 吨的汽车承运吨的汽车承运, ,试利用中心极限定理说明每辆车最多可试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱以装多少箱, ,才能保障不超载的概率大于才能保障不超载的概率大于0.977.0.977. ( (ΦΦ(2)=0.977,(2)=0.977,其中其中ΦΦ( (x x) ) 是标准正态是标准正态分布函数分布函数).).第 8 页 共 25 页十二、十二、( (本题满分本题满分8 8 分分) )设随机变量设随机变量X X 和和Y Y 对联和分布是正方形对联和分布是正方形G G={(={(x x, ,y y)|1)|1≤≤x x≤≤3,13,1≤≤y y≤≤3}3}上的均匀分上的均匀分布，试求随机变量布，试求随机变量U U={={X X−Y Y} } 的概率密度的概率密度( ).p u第 9 页 共 25 页2002001 1 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 《数学三《数学三》试题答案》试题答案一、填空题一、填空题(1)、 。

设 yf x在x处可导，且 0f x ，则函数y关于x的弹性在x处的值为  EyxxyfxExyf x解：由QAL K，当1Q 时，即1AL K，有1 ,KAL 于是K关于L的弹性为：EK ELLKK11dAL L dLAL   111AL LAL      (2)、11.22tW解：tW表示第t年的工资总额，则1tW表示第1t 年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得tW满足的差分方程是：11(120)21.22tttWWW(3)、-3解：方法方法1：：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A进行初等变换111111111111kkAkk   11111001( 1)2,3,410101001kkkkkkk    行分别加到行311101002,3,400100001kkkk    列分别加到1列第 10 页 共 25 页可见只有当k =−3时，r(A)=3.故k =−3.方法方法2：：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式0A .由111111111111kkAkk11111001( 1)2,3,410101001kkkkkkk 行分别加到行311101002,3,400100001kkkk列分别加到1列3(3)(1)0,kk解得 k =1或k = −3. 当k =1时，1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1A   111100001( 1)2 3 400000000    行分别加到 ， ，行可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k =−3.(4)、1 12切比雪夫不等式为：2()()D XP XE X期望和方差的性质：()E XYEXEY；()2cov(, )D XYDXX YDY解： 把XY看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.故()220E XYEXEY  又相关系数的定义：cov(, )(, )X YX YDXDY则cov(, )(, )( 0.5)141X YX YDXDY  ()2cov(, )12 ( 1)43D XYDXX YDY   所以由切比雪夫不等式：2()316()663612D XYP XYP XYE XY(5)、F；(10,5)第 11 页 共 25 页1.F分布的定义：12XnFYn其中2 1~()Xn2 2~()Yn2.2分布的定义：若1,,nZZ相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N，则221~( )ni iZn3. 正态分布标准化的定义：若2~( ,)ZN u，则~(0,1)ZuN解：因为2(0,2 )1,2,,15iXNi ，将其标准化有0(0,1)22iiXXN，从而根据卡方分布的定义2222 221015111(10),(5),。