复变函数第二章第三节.ppt

定义2.8(单叶函数）设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换.f(z)=z2不是C上的单叶函数.f(z)=z3是C上的单叶函数第三节 初等多值函数定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为 ：, 根式函数 为幂函数z=wn 的反函数.(1) 根式函数的多值性.1. 根式函数(2) 分出根式函数的单值解析分支.从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该 直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边 界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化 为单值函数来研究wk在其定义域上解析,且分成如下的n个单值函数：(3) 的支点及支割线 定义1 设 为多值函数， 为一定点，作小圆周，若变点 沿 转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称 为 的支点，如就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点 转一周，故点 也是其一个支点.常用方法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分 支的割线，称为多值函数的支割线. 如 可以以负实轴为支割线. 注 a) 支割线可以有两岸. b) 单值解析分支可连续延拓到岸上. c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变. d) 对 ，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为主值支.上岸下岸二、对数函数 1. 定义2.计算公式：说明：w=Lnz是指数函数ew=z的反函数， Lnz一般不能写成lnz,其余各值为例1 解注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函 数是实变数对数函数的拓广.例2解3. 对数函数的性质4. 分出w=Lnz的单值解析分支 从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数 w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支：wk在定义域上解析,且例1 设 定义在沿负实轴割破的平面上，且以 为支点，连接 的任一 （广义）简单曲线可作为其支割线.解：求值： （是下岸相应点的函数值）求 的值 .三、乘幂 与幂函数 1. 乘幂:3. 幂函数的解析性原点和负实轴的复平面内是解析的,例1解它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。

1. 反三角函数的定义两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:四、反三角函数和反双曲函数2. 反双曲函数的定义例1 解五、具有有限个支点的情形 设有任意N次多项式： 分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为 且有则函数的支点有以下结论： (1) 的可能支点为 和 ； (2) 当且仅当 不能整除 时， 是 的支点； (3) 当且仅当 不能整除 时， 是 的支点； (4) 若 能整除 中若干个之和，则中对应的几个就可以联结成割线，即变 点 z 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后 ，函数值不变.例1 作出一个含 i 的区域,使得函数 在此区域内可分解成单值解析分支,求一个分支在i点解可能的支点为易知函数 因0,1,2与无穷，具体分析见下图结论：0、1、2与无穷都是支点。

的值,使其满足支点确定后，我们作区域，将函数分解成单值解析分支 首先，在复平面内作一条连接0,1,2及无穷远点的任意无 界简单连续曲线作为割线,在所得区域内,可以把w分解成 连续分支例如,可取 作为割线,得到区域D 其次,也可以取线段[0,1]及从2出发且不与[0,1]相交的 射线为割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支例 如，可取[0,1]及 作为割线,得到区域 例2 验证函数 内可以分解成解析分支;求出这个分支函数在(0,1)解由于故0,1是支点，无穷远点不是支点在区域D=C\[0,1]上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值结论:0,1是支点,无穷远点不是支点因此，在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分 支；若在（0，1）的上沿规定 其四个解析分支为：则对应的解析分支为k=0在z=-1处，有，所以。