基于matlab的线性调频信号的时频分析.pdf

基于基于 Matlab 的线性调频信号的时频分析的线性调频信号的时频分析 石珂 北京邮电大学电信工程学院，北京（100876） E-mail：zzusk@摘 要：摘 要：一个公认的观点是：任何一种时频分布如果对线性调频信号不能提供好的时频聚集性，那么它便不适合用作非平稳信号时频分析的工具 由于单分量 LFM 信号的 Wigner—Ville 分布是冲激线谱，所以用 Wigner—Ville 分布分析单分量 LFM 信号是非常合适的但对于多分量信号， 由于交叉项的存在， 时频平面就会变得模糊不清 而 Radon—Wigner 变换、分数阶Fourier变换和Chirp-Fourier变换在处理多分量信号时就比Wigner—Ville分布理想的多，但这几种变换的性能也不尽相同本文就着重比较它们的优劣[1 ]关键词：关键词：时频分析 LFM 信号 Wigner—Ville 分布 Radon-Wigner 变换 分数阶 Fourier变换 离散 Chirp-Fourier 变换 1．1． 引言 引言 信号与信息处理是信息科学中近十几年发展最为迅速的学科之一 传统的统计信号处理有三个基本的假设：线性、高斯性和平稳性。

而现代信号处理则以非线性、非高斯性和非平稳性信号作为分析与处理的对象 在现代信号处理中， 非平稳信号处理的发展尤其引人注目 分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是 Fourier 分析Fourier 变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量， 而缺乏局域性信息 即它不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内， 而这对非平稳信号是十分重要的 为了分析和处理非平稳信号， 人们对Fourier分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时 Fourier变换、Wigner—Ville 分布、Gabor 变换、小波变换、 Radon—Wigner 变换、分数阶 Fourier变换等本文的研究重点为 Wigner—Ville 分布、Wigner—Ville 分布、分数阶 Fourier 变换、离散 Chirp-Fourier 变换[1 2]−在非平稳信号的研究过程中，有一种特殊的非平稳信号：chirp 信号，又称线性调频（Liner Frequency Modulation，LFM）信号，研究价值较高这是因为：（1）chirp 信号在时频平面中呈现直线型，因而常常作为衡量一种时频分析方法是否有效的手段 ； （2）作为大的时间——频带积的扩频信号，它广泛地出现在通信、雷达、声呐和地震勘探等系统；在扩频通信中，线性调频信号提供了一种具有高度抗干扰能力的调频方案 ； （3）在生物医学信号分析方面，chirp 信号用于 CT 信号的时频分析 ；（4）用于故障诊断的振动信号中也存在着大量的 chirp 信号成分 。

因此，本文也将 LFM 信号作为研究对象[3 ]2．2． 各时频分析方法对 LFM 信号的分析 各时频分析方法对 LFM 信号的分析 2．1 对但分量信号的分析 2．1 对但分量信号的分析 一个公认的观点是：任何一种时频分布如果对线性调频信号不能提供好的时频聚集性，- 1 - 那么它便不适合用作非平稳信号时频分析的工具 时频聚集性也即要求它在时频平面上是高度聚集的 时频分布的提出源于局部性， 局部性的正确描述又与信号的时频聚集性密切相关，而聚集性是衡量时频分布的重要指标 适合用作时频聚集性评价的典型非平稳信号为线性调频信号假设使用幅度为 1 的单分量线性调频信号 LFM：( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2 0212mttfjetZπ 这种信号广泛用在雷达，声呐和地震等探测系统中如在雷达等探测系统中，当目标作等加速运动时，其回波即为 LFM 信号对于空间线性阵列，若信号源位于近场，则沿阵列分布的信号也近似为 LFM 信号，合成孔径雷达利用了这一特性 [4]下面计算 LFM 信号 Z(t)的 Wigner-Ville 分布乘积信号为： ()ξπξξπξξπξξmtfjtmtfjtmtfjeeetZtZ+⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢ ⎣⎡ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛−− ⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢ ⎣⎡ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛+==⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛−⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛+020202221 22221 222*2将其代入分布的定义式，则: ()()()[]mtffdeedetZtZftWfjmtfjfj LFM+−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛+=∫∫∞∞−−+−∞∞−0222 2*2,δξξξξξππξπξ由此可知：单分量 LFM 信号 WVD 分布为沿直线mtff+=0分布的冲激线谱。

即：分布的幅值集中出现在表示信号的瞬时频率变化律的直线上 分布为冲激线谱的结论只适用于无穷长 LFM 信号在实际应用中，信号长度总是有限长的此时 WVD 分布呈背鳍状WVD 分布对单分量 LFM 信号具有比其它时频分布更好的时频聚集性 2．2 对多频率信号的分析 2．2 对多频率信号的分析 虽然 Wigner-Ville 分布对单分量线性调频信号 LFM 具有比其它时频分布更好的时频聚集性,但对于多分量信号，交叉项会产生“虚假信号” 交叉项是二次型或双线性时频分布的固有结果,它们来自多分量信号中不同信号分量之间的交叉作用.时频分布里的信号项产生于信号每个分量本身,它们与时频分布具有有限支撑的信号的物理性质是一致的.也就是说,如果给出信号z(t)及其谱的先验知识,则信号项在时频平面上只出现在我们希望它们出现的那些地方,与信号项的情况相反,交叉项是时频分布里的干扰产物,它们在时域与/或频域表现出与原信号的物理性质相矛盾的结果. 如果 LFM 信号存在多个分量时（实际信号常如此，如同时存在多个目标） ，分量之间的交叉项就会使时频平面变得模糊不清特别是在信噪比不高的场合，甚至难于发现各个LFM 信号分量。

由于理想 LFM 信号的 Wigner-Ville 分布为直线型冲激函数，有限长度的LFM 信号的 Wigner-Ville 分布为背鳍状，所以其 Wigner-Ville 分布的时频平面沿相应直线作积分平滑，是一种理想选择Radon-Wigner 变换正是基于此而提出的它是对信号的- 2 - Wigner-Ville 分布的时频平面作直线积分投影的 Radon 变换，统称对信号作 Radon-Wigner变换 在Wigner-Ville分布的时频平面里,惯用w轴的截距w0和斜率m为参数表示直线因此，当需要沿w=w0+mt作直线积分时，可将积分路径（直线PQ）的参数()α ,u替换成（m,w0）,且两对参数之间的关系为：αsin/uw,αcotm0=−= 若求信号z(t)的Radon-Wigner变换，并以参数(m,w0)表示积分路径，则有： ()()()()()()[]()()[]()αsin/uwαcotm/dtmtw, tWαsin1dwdtmtwwδw, tWαsin1dwdtmtwwαsinδw, tWdvduuuδw, tWdvw, tWα ,uD00z0z0z'' '' z'PQzz=−=+=+−=−−=−==∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∞∞−∞∞−∞∞−∞∞−∞∞−∞∞−∞∞−线上式表明，若z(t)是参数为w0和m的LFM信号，则积分值最大；而当参数偏离w0与/或m时，积分值迅速减小，即对一定的LFM信号，其Radon-Wigner变换会在对应的参数(m,w0)处呈现尖峰。

我们自然会想到：多分量的LFM信号的特性在Radon-Wigner平面里更加突出即表现为各个尖峰，因而更有利于区别交叉项和噪声利用Radon-Wigner变换一定能够获得更好的性能 作为时频分析方法之一，分数阶傅里叶变换[5 6]−与 Wigner-Ville 分布（WVD），Radon-Wigner 变换（RWT）分别有着一定的数学关系，借助它们的联系，可进一步说明分数阶傅里叶变换的物理意义信号 x(t)的 Wigner-Ville 分布函数的定义为[2]()ξξξξdetxtxwtWjw X−∞∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟ ⎠⎞⎜⎝⎛+=∫2*2, 作为能量型时频表示，WVD满足许多期望的数学性质，这里给出其边缘特性 21 22| ( )|( ,)|( )|( ,)xxx tW t w dwX wW t w dtπ==∫ ∫对WDF旋转α角度，即对Wigner分布实施Radon变换，其结果是 [( , )]( cossin, sincos)(cossin,sincos)xR W t wW uvuvdvf uvuvααααααα∞∞−∞−∞α=−+′′′′=−+∫ ∫ ∫- 3 - 而信号x(t)的p 阶分数阶傅里叶变换的WVD就是将信号x(t)的WVD 旋转( )pXuα角度，即WVD对于分数阶傅里叶变换具有旋转不变性，所以有 2|( )||( ,)px|XuRW t wα= 可以看出，WVD 对时间轴与频率轴的积分分别是信号在t时刻的瞬时功率和信号在频率w的谱密度， 而信号x(t)的WVD对与时间成α角度的轴的积分投影对应着角度为α的分数阶傅里叶变换的幅度平方， 这进一步从能量的角度说明分数阶傅里叶变换作为广义傅里叶变换的含义。

正弦信号在时频平面是一条平行于时间轴的直线，即它的频率不随时间变化，可视为旋转角度为的完全时间域表示；冲击函数在时频平面是一条平行于频率轴的直线，可视为旋转角度为的完全频率域表示；chirp 信号在时频平面是一条斜率为调频率的直线， 当该信号的某一角度的分数阶傅里叶变换与其调频率一致时， 在无限长度的理想情况下，表现为幅度为无穷大的冲击，在信号长度有限的情况下，其分数阶傅里叶变换呈现极大值，这就是Chirp信号在分数阶傅里叶变换域的特点 0?90?离散Chirp-Fourier变换是最近提出的一种有效的线性调频信号检测技术,它Fourier变换的一种推广形式,可同时匹配chirp信号的中心频率和调频率本文利用修正离散Chirp-Fourie变换(MDCFT)实现干扰信号的检测和参数估计,从而实现对干扰的自适应抑制分析和仿真表明,该方法可对LFM干扰有着极好的抑制效果;同时,由于Chirp-Fourie变换是一维的线性变换,可借助快速傅里叶变换 （FFT)实现,与基于WVD的算法相比,不仅避免了交叉项干扰,而且降低了计算的复杂度,其实现更为简便[7 9]− 3．基于Matlab3．基于Matlab[1的上机仿真过程及结果分析的上机仿真过程及结果分析 0 11]−3．1 对单分量信号的仿真及结果分析 3．1 对单分量信号的仿真及结果分析 （1） ：输入解析信号为的 WVD 分布： ( )2ktjetxπ=图 3.1.1 单分量信号的 WVD 分布 - 4 - (2)：在上述解析信号中加入噪声后，用 WVD 分布分析其性能： 图 3.1.2 加入噪声的单分量信号的 WVD 分布 由图 3.1.1 可以看出实际结果与前面的理论推导一致。

在实际应用中，信号长度总是有限长的，此时 WVD 分布呈背鳍状 由图 3.1.2 可以得到 WVD 变换对噪声不太敏感，时频变换后信噪比较高但当干扰的幅度大到一定程度时，WVD 变换的结果会严重变差，甚至分析不出结果 （3） ：前两个图是输入解析信号为( )2ktjetxπ=的 Radon-Wigner 变换，后两个图是在这个解析信号中加入噪声以后用 Radon-Wigner 变换对其进行的分析： 图 3.1.3 单分量信号的 Radon-Wigner 变换 由理论分析可知，当旋转角度α与线性调频信号的斜率相适应时，Radon-Wigner 变换 将出现一个峰值这个分析在图。