宋鹏飞小学期论文.docx

泊松方程的数值解法泊松方程的数值解法指导老师：何银年班级：数学实验班 01姓名：宋鹏飞学号：10092014摘要：摘要：泊松方程是工程及物理中常见的椭圆型偏微分方程本文将使用现代数值解法中的有限元法，有限差分法和有限体积法研究泊松方程关键词：关键词：泊松方程 有限元 有限差分 有限体积正文：正文：泊松方程是数学中一个常见于 静电学、机械工程和理论物理的椭圆型 偏微分方程，由法国数学家、几何学家及 物理学家泊松而得名的泊松方程：- uf 12( ,,......,)nx xx0u 12( ,,......,)nx xx这里是拉普拉斯算子，是欧几里得空间一，泊松方程的几种数值解法简介：一，泊松方程的几种数值解法简介：泊松方程的数值解有很多种，在这里，我们介绍三种有限元法，有限差分 法，有限体积法有限元法：有限元法：有限元法实际上就是 Ritz-Galerkin 法，下面介绍一下有限元法 的具体原理： 考虑泊松方程的物理意义，使用最小位能原理，我们知道是位能最小时u 的的解，位能表达式为：u1( )(, )( , )2J uu uf u求的最小值，这让我们想起了线性方程的解法：u，要求 x 的极小值，我们转化成的极值问1( )(, )( , )2J xAx xb x( )()J xy 题，就是对求导，让，最后求出 x。

'(0)0同样，对于，我们化成，后求1( )(, )( , )2J uu uf u( )()J uv 导，让，再使用泛函中的虚功原理，我们就将微分形式变成变分形式：'(0)0(,)( , )uvf v但是就算如此，无限维的泊松方程还是很难解，我们可以考虑其近似数值，解，使用 Ritz-Galerkin 法，方法的基本思想是在中选一个 N 位子空1 0( )H间，然后再上解上述变分问题总结上述所说的，有限元法可分为有以NSNS下几个步骤： （1） 选择单元结构，剖分区域 （2） 构造基函数，形成有限元空间 （3） 形成有限元方程，解有限元方程 （4） 收敛性及误差估计有限差分法：有限差分法：和有限元法比较，，有限差分法就是在第三步中，有限差分将 微分形式变成差分形式，其他几步都是一样的下面给一个差分例子 考虑一个椭圆方程：22d uLuqufdx axb( ), ( )u au b方程的差分形式是：11 22iii iiiuuuqufh将上述所说的总结一下就推出有限差分法的几个步骤： （1） 对求解区域进行网格剖分 （2） 构造逼近微分方程定解问题的差分格式 （3） 差分方程的解法 （4） 收敛性，稳定性研究有限体积法：有限体积法：其实，有限体积法可以理解为广义差分法。

传统的差分法 只限于矩形网络，而矩形网络逼近一般误差大，不灵活所以可以考虑 将差分法推广到三角网络，这就是广义差分法，即有限体积法 有线体积法与有限差分法最大区别在于差分法使用了广义导数，并将区 域剖分对偶化二，泊松方程几种数值解法详细介绍：二，泊松方程几种数值解法详细介绍：在前面，我们已经给出了有限元法，有限差分法，有限体积法的基本步骤， 这里，我们根据这些步骤来对一维和二维的泊松方程进行求解以及误差估计一，一， 一维泊松方程的数值解：一维泊松方程的数值解：（（1 1）区域剖分：）区域剖分：这里，将之剖分 (0,1) 0110.....1mxxx我们定义 1iiihxx1/21()/ 2iiixxxmaxihh1(,)iiiIxx（（2 2）构造有限元空间：）构造有限元空间： 为了得到有限元方程和差分方程，我们从 Ritz 法出发，构造试探函数即基 函数，如下：是由组成的函数空间，其中hX12,.....m 11 11 1( ),;( ),;( )0,/()ii iiiiiii iixxxxxxIxxIxxIIhh  U同时，我们定义：1 01011111 11( ),;( )0,/;( ),;( )0,/m mmmm mxxxxxxIxxIxxIxxIhh （（3 3）） 有限元方程，有限差分方程，广义差分方程有限元方程，有限差分方程，广义差分方程事实上我们可以通过 ，求来求泊松方程数值解1( )( )m i hi iuxuxiu这样我们得到了数值方程如下：有限元方程：(,)( ,),hhhhhuvf vvX其中1()/ii hiuuuh有限差分方程：1/21/21/21/2[()()]( )iixxhixhi xd uxd uxf x dx有限体积法方程：11/21/2[()()]( )iixxhixhi xd uxd uxf x dx（（4 4）解方程组：）解方程组：根据这三个方程就可以得到一组线性代数方程，从而可得到三个矩阵12(,,.....,)mUu uu12(,,.....,)mFfffAUF其中 有限元法 有限差分法 有限体积法 if ( ,)hf v1/21/2( ),iixxf x dx1( )iixxf x dx解此矩阵即可可得到：122223333411110...001111...001110...00........ 111000...mmmhhhhhhhA hhhhhh        （（4 4）稳定性及误差估计）稳定性及误差估计：对于稳定性，可以使用0,0,huc f误差估计，可以使用0,0,()huuch f二，二维泊松方程的数值解二，二维泊松方程的数值解（（1 1）区域剖分）区域剖分：(0,1) (0, )T 对于 x 轴，剖分和一维的一样，对于 y 轴，(0, )T0110....NNyyyyT我们定义：1 11/2,max,2jj jjjjjyytyytty 并设定12 11,1,......,1,,1,.....,1jiijthc imcjNht对于每个子区域，把它分为六个小区域 ,1111(,) (,)i jiijjKxxyy%16,,,.....,i ji jKK如图：（（2 2）构造有限元空间：）构造有限元空间：是由构成的函数空间，其中定义如下hX1111,....,,....,,...,mNmN( , )ijx y11411613112151( , ),( , )( , ),( , )( , ),( , )( , ),( , )( , )1,( , )( , )1,( , )j ijij jj ijij ji ijij ii ijij iji ijij ijji ijij ijyyx yx ytyyx yx ytxxx yx yhxxx yx yhyyxxx yx yhtyyxxx yx yhtKKKKKK  边界情况一样定义（（3 3）有限元方程，有限差分方程，广义差分方程：）有限元方程，有限差分方程，广义差分方程：事实上我们可以通过求来求泊松方程数值解11( )( , )Nm ij hij jiuxux yiju这样我们得到了数值方程如下：有限元方程：(,)( ,),hhhhhuvf vvX有限差分方程： **( , )ijijhudsf x y dxdynKK其中：* 1/21/2/21/2(,) (,)iij ijijxxyyK有限体积法方程：1,,1()()( , )ijijiji jij jxxiyyKt d ud uh d ud uf x y dxdy其中：11(,) (,)ijiijjKxxyy（（4 4）解方程组：）解方程组：根据这三个方程就可以得到一组线性代数方程，从而可得到三个矩阵11 11(,...) ,(,...,) ,(,...,) ,(,...,)NTjjmjTTT NjjmjUUUUuuFFFFffAUF其中有限元法；；有限差分法；( ,)ijhff v*( , )ijf x y dxdyK( , )ijKf x y dxdy有限体积法 解此矩阵即可。

解的结果通式如下：11122122233233341,21,11,,1,00...0000...0000...000..........0000...0000...0NNNNNNN NN NN NBBBBBBBBABBBBB     对于有限元和有限体积区域剖分法是一样的所以，A 相同：1 11 211 22 2311 33 3411 1,1 11 ,00...00020...000220...00022..........0000...220000...02jjjjjjjjjjjjjjjj mm mmjj m m mmttbhttttbhhttttbBhhttttbhhttbh            m122334 ,1 111000...000000...000000...0001 ..........20000...000000...00j j jmmmmm mhhhhhhBt hhhh     其中：111111()()iiji iijjbthhhtt有限体积法的区域剖分和前两种方法不同，A 也不同：11 222 2333 341,1 1,00...0000...0000...000..........0000...0000...0jjjjjjjjj mm mmj m m mm mtbhttbhhttbBhhttbhhtbh              123 ,1 11000...000000...000000...0001 ..........0000...000000...00j j jmmm mhhhBt hh       其中：11111111()()22jjii ii iijjtthhbhhtt（（5 5）稳定性及误差估计）稳定性及误差估计：稳定性可以使用：11112220000[],NmNm ijijij i ji jxy jijiht uchtd ud u其中12max(1,,)cc c误差估计使用：0,()huuc htf 三，数值实验例子：三，数值实验例子：例：使用差分法解：( ),(0,1)xxuf x x(0)(1)0.uu其中：( )sin( )/sin(1),( )sin( )/sin(1)u xxx f xx算法结果：U =0.0093969576885150.0186454278766490.0275972942054420.0361051816711150.044022824985826···············0.0428268780585010.0309083043190900.016662475915615 最大的误差是 0.000015 如图：00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.010.020.030.040.050.060.070.08。