概率论中的大数定律及中心极限定理.doc

概率论中的大数定律及中心极限定理唐南南摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科,概率论的特点是先提出数学模型,然后去研究它的性质，特点和规律它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容在这篇文章中，我们从贝努力实验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律在另某些条件下,这些分布弱收敛于N（０,１)分布,这一类收敛于Ｎ(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律阐明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究互相独立随机变量序列的部分和的分布，在合适条件下向正态分布收放的问题在这篇文章里,我们只简介了某些定理的提出,内容以证明以及在其她学科上的应用,而大数定律和中心极限定理尚有许多更进一步，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再简介了掌握定理的结论是重要的,这些结论一方面使频率稳定于概率，n次观测的算术平均值稳定于数学盼望均有了明确的含义和理论根据；另一方面,又将给数理记录中大样本的记录推断等提供理论根据 核心词　大数定律 中心极限定理 随机现象　随机变量引言大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容,但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握,这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析,但对其内容进行具体的阐明，并且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，但愿通过本篇文章内容的简介，能使读者对于这部分知识有一种清晰的印象，能整体地把握这部分内容。

一 、大数定律（一)、问题的提法(大数定律的提法)反复实验中事件的频率的稳定性,是大量随机现象的记录规律性的典型体现人们在实践中结识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在;由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当ｎ充足大时）用频率的值来估计概率的值这些都是概率的公理化定义的实际背景概率的概念以及在此基本上建立的理论应当与实际相符合因此，我们需要对频率的稳定性这一实际作理论的阐明其实,在大量的随机现象中，不仅事件的频率具有稳定性，并且大量随机现象的平均成果一般也具有这稳定性：单个现象的行为对大量随机现象共同产生的总平均效果几乎不发生影响,这就是说，尽管单个随机现象的具体实现不可避免地引起随机偏差,然而在大量随机现象共同作用时，由于这些随机偏差互相抵消，补偿和拉平，致使总的平均成果趋于稳定例如，在分析天平上称量一质量为u的物品，以……，表达ｎ次反复测量的成果经验告诉我们,当n充足大时,它们的算术平均值对u的偏差却很小,并且一般n越大，这种偏差越小如果把一连串的观测成果……,当作随机变量,则上述直观现实表白，当ｎ充足大时，在一顶的收敛意义下,有，它就是大量随机现象的平均成果稳定性的数学体现式。

频率的稳定性也可以体现成这种形式为此令 i=１,2……，n那么，是n次实验中A浮现的频数频率的稳定性指的是随着n无限增大，频率趋于稳定概率附近，即在一定的收敛意义下概率论中，一切有关大量随机现象的平均成果稳定性的定理，统称为大数定律,按收敛性的含义不同,大数定律有弱大数定律和强大数定律之分二）、大数定律的内容及证明1、 在证大数定理时,我们常常用到出名的切比雪夫不定式，一方面我们来讲这个不定式设随机变量X有盼望和方差,则对于任意 >０,有或 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　证明：(1）: 　 ｘ是离散型随机变量的情形　 （）(2）x是持续随机变量的情形 　 设x的密度函数是,则有积分区域如图： 　 　 　　 Ｐ(x)X 　 　　 　　　　 　E（ｘ）－　　 E（ｘ) 　 E(x)+ 由于即 于是有切比雪夫不定式给出了在随机变量x的分布未知的状况下,对事件（或事件的概率的一种估计措施例如在式子中令，并令,则有(）式子给出了离差不不不小于的概率的上界,而式子给出了离差不不不小于的概率的下界,并且二个式子对任何具有方差的随机变量都成立。

从第二个式子中又可以看到，越小,概率就越大，阐明ｘ取值集中于其盼望周边的限度越高;越大，概率就越小，阐明x取值集中于平均值附近的限度越低,这就使我们方差定义的含义有了进一步的理解例1． 对小麦品种做发芽实验，种子发芽的概率未知,问要用多少颗小麦做实验才干觉得发芽的概率与P相差不超过1／1０的概率达到９5%？解：用Sn表达实验的n颗种子中发芽的颗数,则发芽的频率是，我们要拟定n，使得n满足或由于Sn服从二项分布,因此，E（Sn)=nP, D(Ｓn）=ｎP(1-P）.又由于P（1-Ｐ)=-P２+P=-(P－)2+故ｐ(1-p)≤ 　 　 阐明所选的ｎ要满足5%，即n5002、目前再讲述一种常用的大数定律的数学定义 假设，…，,…是随机变量的序列，令＝, 如果存在这样的一种常数序列α１，α2,…，αn…,对任意的ε>ο,恒有 则称序列(接算术平均值）服从大数定律必须指出,更加一般地描述大数定律的形式是:对于随机变量序列，令ｎ(ξ1,ξ2，…ξn），这里n是()的对称的函数如果存在常数列序列α1，α２,…,αn…,对任意的ε>ο，成立,则称这种随机变量的序列按函数ｆｎ服从大数定律3、下面具体简介几种大数定律的内容及证明。

1）切比雪夫大数定律①、定义 设X1,X2，,…,Xn,…是一种随机变量序列，若存在常数a,使得对任意，均有则称随机变量序列依概率收敛于a,记作②、定义 　　设X1,X2,，…,Xn，…是一种随机变量序列，数学盼望存在，使得对于任意,均有，则称随机变量序列服从大数定律服从大数定律,实质是说③、定理 若独立随机变量序列X1，Ｘ2,…，Ｘｎ，…，各有数学盼望，方差,则对于任意,有④、证明：令,由于Xi互相独立,因此由式子可以得到当n时，取极限使得但由于概率不也许不小于1，因此⑤结论：这个定理表白,在定理成立的条件下,当n充足大时，n个独立随机变量X1，X2，，…,Xn，的算术平均数这一随机变量的分布，对于它的数学盼望的附近,而当n充足大时，与其盼望之差依概率收敛到0此处所谓大数的“大”是指定理中极限等式右端的“１”⑥推论:若Ｘ1，Ｘ２，,…,Xn,，…是独立在同分布的随机变量序列，且E(Ｘｉ）=ｕ，D(Xｉ)=(ｉ＝１,2，……),则对于任意的,均有这一推论使我们有关算术平均值的法则有了理论根据，通过算术平均后得到的随机变量，其分布随着n的增大越来越紧密地汇集在它的盼望附近切比雪夫定理为我们提供了有关用抽样算术平均数估计总体平均数（盼望)的理论根据。

如果在相似的条件下进行ｎ次反复抽样，得到n个不同的值Ｘ1，X２,，…，Xn，我们可把这些成果当作独立同分布的随机变量X１，X2,，…,Xn的实验数值,且E（Xi）=u，Ｄ(Xｉ）=由这个推论可知，当n充足大时，取作为ｕ的估计值,其误差一般是很小的,这就是说，对于同一随机变量X进行ｎ次独立观测，则所有观测值的平均数依概率收敛于Ｘ的盼望值，即，因此在实际中我们用抽样算术平均数来估计总体盼望ｕ下面举出某些切比雪夫大数定律的某些重要的特例 　 　　(2)贝努里大数定律 　　 　　 　 　　 　 X 　0　 　　 1　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 Px1　 1-P 　　P ①定理 X1,Ｘ2，，…,Xn为随机变量序列，Xk有分布列 　 　　i=１,２，…若Ｘ是n次实验中时间A发生的次数,则有,即对于任意给定的有，②证明:Xi为第i次实验中事件A发生的次数由于又由于Ｘ1,X2，,…，Ｘn互相独立,且Ｘ=，再由切比雪夫定理的推论可以得到,即，亦即③阐明:　 我们在论述反复实验中事件A浮现的规律时可知事件A的频率具有稳定性,贝努里大数定律对于之一事实作了理论上的阐明。

设时间A的概率为p,Xk为第k次独立反复实验中事件Ａ浮现的次数，则Xk有分布列　Ｘi ０ 1 　　 i=１，2,……根据贝努里大数定律 　 　 　 Pxi 1-P Ｐ就是说,独立反复实验中事件A浮现的频率稳定性是指依概率收敛于它的概率由贝努里定理懂得,当实验次数很大时,事件浮现的频率与概率有较大的偏差的也许性很小由实际推断原理，当实验次数很大时，便可以用频率来替代概率例如，某工厂的产品的次品品率为p，产品中抽出n件产品，浮现次品数为ｕ,频率u/n与次品率p之间的偏差是当n很大时，概率的实际意义是:进行N次抽样每次抽n件产品,在ｎ次抽样中使成立的有M次,当ｎ充足大时,有贝努里定理是在实验的条件不变化时来讨论频率的,而事实上进行多次实验的条件不也许是绝对不变的例如打不通的概率（称为损失率）白天和晚上就不同样虽然如此，仍然能发现频率的稳定性我们有下述的普哇松定理３)普哇松定理①定理：在一种独立实验序列中,事件A在第k次实验中浮现的概率为Pk,ﻩ且设u是起初n次实验中事件Ａ浮现的次数，则②证明:作随机变量uｋ：第k次实验时如果事件A浮现,它为１,反之为0,则u＝u1+ｕ2+…+un。

易知　M·uk＝Pk，再由切比雪夫定理可得到本定理4)辛钦大数定律①定理:设均为互相独立相似分布的随机变量,且具有有限的数学盼望（)，则对任意的，有②证明：在证明之前先简介在证明中要用到的定理及该定理的系定理　 如果随机变量序列　依概率收敛于随机变量,则该序列,分布函数序列弱收敛于的分布函数定理的系依概率收敛于常数Ｃ的充要条件是的分布函数Fｎ(ｘ)弱收敛于退化分布F(ｘ)＝ 下面证明辛钦大数定理由于具有相似分布，故有一特性函数，设为由于数字盼望存在,故可以展成而的特性函数显然为，对于任意固定的t，=而eａit为的特性函数,其相应的分布函数弱收敛于G(x)=依特性函数的逆极限定理,的分布函数弱收敛于Ｇ（x），从而由前面的系，依概率收敛于a，即③阐明:贝努里大数定律成立时,规定D(xi)存在，若Ｄ(xi)不存在时,则可应用辛钦大数定律三)加强大数定律的内容及证明到目前为止还不能从贝努里定理作出:“当实验次数无限增长时,频率趋于概率”的推断事实上，贝努里定理只能肯定对任意小的正数,使得对充足大的n成立着,因而并不是绝对趋向于p,这个结论只告诉我们，当n充足大时，不等式成立是小概率事件，这事件虽然在一次实验中可以觉得不浮现，但在多次反复下就会浮现,特别是在现代电子计算机的运算中,它在极短的时间内可以进行大量的计算,在一次计算中可以觉得计算成果与真数相差较大的状况不会浮现,但在大量的反复计算中，可以浮现与真数相差很大的状况。

因此，为了避免因大量运算中导致成果相差很大的状况浮现,以概率为1地保证在实验次数不断增长时使运算成果更加精确就显得极为重要了而加强大数定律,就是研究此类问题的为了讨论加强大数定律,我们先引进一种重要的概念——随机变量序列的收敛性，即对于任意的，有如果对于一种随机变量序列及随机变量，有，则称随机变量序列以概率1收敛于所谓一种随机变量序列是服从加强大数定律的是指该序列满足下列关系式：１、波莱尔强大数定律(1）定理：假设un是n重伯努利实验中某事件A浮现的次数，已知每次实验中A浮现的概率为ｐ(0