利用几何画板探索函数_的单调性.doc

1 -利用几何画板探索函数 的单调性()bfxa二十一世纪人类已进入信息时代，以计算机和网络为核心的现代科学技术不断发展,其应用已逐步进入教育领域使我们的教育由“一支粉笔、一块黑板、一本书”的枯燥无味的课堂教学走向生动活泼的“屏幕教学” ，真正向创新型教育教学发展数学作为一门独立的自然科学，有它自身的特点、体系和规律，如何利用多媒体进行辅助教学，探讨多媒体教学模式已成为教育界广泛关注的话题在研究函数问题时常遇见可转化为形如“ ”的()(0,)bfxaaR题目，因此在教学时采用了专题研究的形式，使学生能了解并掌握此类函数的单调性以往的学生在解决这一类问题时，如当 同号时，通常是用均值不,等式处理，但往往又会遇到不能处理的情况，比如求函数 在 上2yt[,4]t的最值；而当 异号，则常不知从何下手为此，我利用多媒体技术，应用,ab几何画板软件带领学生进行了一次有益的探索实验主要过程如下： 一、提出问题：请用几何画板画出函数 图象，观察函数随()(0,)bfxaaR不断变化时，看看可发现什么数学规律并尝试给出证明（事先我把全班分,ab成了几个小组，目的是培养学生团结合作的精神） 。

同学们很快动手操作，学习积极性非常高，此时我在学生操作的过程中巡视，有的小组很快发现了规律，还不到 20 分钟各个小组基本上都找到规律，然后小组代表发言总结学生代表甲：我们发现函数的图像是很对称的，有点像老师批改作业时打的勾，而且当 同为正数时函数图像只在一和三象限，当 同为负数时，函ba, ba,数图像只在二和四象限师：回答得很好，他们考虑到两种不同的情况，对图像的特点认识得比较到位，因此对这两类函数的单调性就判断出来了，那你们能说说它们的单调区间吗？（学生迟疑了）生乙：那需要找出两个拐点坐标啊！- 2 -师：这个问题提得很好，那有同学找到这个拐点坐标与 间的关系了吗？,ab（大家开始思考，老师启发可否用均值不等式寻求拐点的横坐标？学生在教师的提醒下立即展开研究， ）生丙：我发现拐点的横坐标 bxa师：非常正确那还发现其它不同情况吗马上又有同学举手）生丁：我们画出的图像和他们画出的不一样，当 时，函数始终单0,ba调递增，当 时，函数始终单调递减 （有的小组也表示还有不同的图0,ba像，于是经过大家的争论，得到了四种不同的图像）师：大家总结得很好，函数 型有四类不同的图()(0,)bfxaaR象（学生自己归纳总结如下）图一（ ） 图二（ ）0,ab 0,ab- 3 -图三（ ） 图四（ ）0,ab 0,ab二、得出结论从图中分析总结出函数 的单调性：()(0,)bfxaaR（1）当 同号时：,ab,ba,0,ba,0,ab增 减 减 增()fx减 增 增 减（2）当 异号时：,ab① 时，分别在 及 上单调递增；0(,0)(,)② 时，分别在 及 上单调递减。

在学生根据图象发现上述性质后，要求根据函数单调性的定义给出证明，旨在培养学生严密的数学推理能力三、运用函数 的单调性尝试解决如下问题：()(0,)bfxaaR1．求最值例 1：求 的最小值23yx解：令 ，原函数化为 2,t72,yt由结论知， 在 内是增函数，于是在 内也是增函数7yt(0,)[2,)- 4 -所以，当 ，即 时，2t0xmin32y2．证明不等式例 2：设 是正数，求证： 的充要条件是对任意的 ，有,ab1ab1x1x证明： 对任意的 成立等价于 ，xmin()1xab作函数 ，令 ，那么函数可化为 ，1yaxu1ayu由结论知， 在 内是增函数，从而 在u[,)内是增函数[,)a当 ，即 时， ，u1xa2min21()yaa于是 2()ybbb3．解含参数的方程问题例 3：已知方程 有实数解，求log(3)l()log(1)aaaxxx(01)a的取值范围a解：当 时，原方程等价于 ，x (2)(2)3x取 ，令 ，可得 ，(2)13y3,0xu107yu由结论知：当 时， ，0umin17y于是当 ，即 时，有 ，得x20a72109a4．解含参数的不等式问题例 4：已知不等式 ，当 时恒成立，求实数 的取值2(1)1axx范围。

解：由于 ，所以原不等式20x2221(1)xaxa- 5 -，取 ，有2min1()xa21()xf1()fx由结论知， 在 上是增函数，于是 在x(,2]()1fx上是减函数，从而当 时， ，所以有 2]xmin5()(2)7fxf57a四、教学反思：本次课堂教学中充分体现了新课程标准所提倡的以学生为主体，通过学生自己动手操作确认—思辨论证—得到结论—解决实际问题等学习过程通过本节课的研究学习，借助几何画板，使得学生从被动接受教师的讲解转变为主动利用技术探索发现，既培养了学生的动手能力，又让学生感受到知识发生发展的过程，同时可以让学生从耗时、易错的列表、描点作图的过程中解放出来，在短时间内画出大量准确的图象；其次，本节课的教学改变了“教师讲，学生听”的教学模式，突出了学生的主动地位，学生的积极性被调动起来，引发了学生的求知欲再次，从实验培养学生的数学能力和建构知识的过程来评价，绝大多数学生不但学会了一种研究问题的方法，而且在实验过程中体会到解决问题的乐趣高一数学教研组 李再江。