湖南省长沙市宁乡市三校（宁乡七中、九中、十中）2021-2022学年高一下学期4月联合考试数学试卷（含答案）.docx

湖南省长沙市宁乡市三校（宁乡七中、九中、十中）2021-2022学年高一下学期4月联合考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、复数的虚部为( )A. B.1 C. D.2、设D为所在平面内一点，，则( )A. B.C. D.3、已知，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.4、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为( )A. B. C. D.5、某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示加里一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是( )A. B. C. D.6、“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于( )A.立方尺 B.立方尺C.立方尺 D.立方尺7、已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.二、多项选择题8、如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )A. B.C. D.9、下列说法中正确的是( )A.若，，则B.两个非零向量，，若，则与共线且反向C.若，则存在唯一实数使得D.若P是三角形ABC的重心，则10、为了测量B，C之间距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有( )A.c与 B.c与bC.b，c与 D.b，与11、设m、n表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A.若，，则B.若，，，，则C.m、n是两条异面直线，若，，，．则．D.若，，，，则12、已知两非零复数，，若，则下列说法一定成立的是( )A. B. C. D.三、填空题13、已知（i是虚数单位），在复平面上，对应的点在第______象限.14、已知外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在方向上的投影为________.15、正方形ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，现将，，分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于一点.若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______.16、已知复数z满足，则=________， =_________.四、解答题17、平面向量，.（1）若且，求的坐标；（2）若满足（1）且的横坐标为正，试求使成立的实数k的值.18、若的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求b、c的值.19、已知m，，是实数，i是虚数单位.（1）若，，求的模；（2）若，且，试求的取值范围.20、如图，在直三棱柱中，，，M，N，D分别为AB，，的中点，E为线段MN上的动点.（1）证明：平面；（2）若将直三棱柱沿平面截开，求四棱锥的表面积.21、如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，，.（1）求证：平面ABC；（2）求多面体的体积V.22、已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，,， ，．（1）求证： 平面ADE；（2）求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.参考答案1、答案：D解析：复数的虚部为．故选：D2、答案：C解析：,D为线段BC靠近C点的三等分点，．故选：C．3、答案：D解析：，则与的夹角为，故选：D4、答案：A解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，得，所以，圆锥的高为，所以，圆柱的母线长为，底面半径为，因此，圆柱的侧面积为.故选：A.5、答案：D解析：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为，每一个正四面体的体积为：，由题意可知：，故选：D6、答案：A解析：（立方尺），故选：A7、答案：A解析：设底面圆半径为r，圆锥母线长为l，因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以，解得，因为该圆锥的侧面积为，所以，解得，则，即底面圆的面积为，则圆锥的高，故圆锥的体积为，故选：A．8、答案：BCD解析：对于选项A，，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于，结合线面平行判定定理可知平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于，结合线面平行判定定理可知平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于，结合线面平行判定定理可知平面MNQ：故D正确；故选：BCD9、答案：BD解析：若可满足“，”，但不一定成立，A错；根据向量减法几何意义，当，则与共线且反向，B对；若可满足，但不满足存在唯一实数使得，C错；如图所示：，D对．故选：BD．10、答案：ABC解析：因为A，C在河的同一侧，所以可以测量b，与，故选：ABC11、答案：CD解析：A项，若，，则或，故A错误.B项，当与相交，且直线m,n都平行于与的交线时，也符合条件，故B错误.C项，设直线，且，直线与m确定的平面为.由题意.，,,又,,,,.同理，.故正确.项，,,或.若，过m作平面交于直线l，则，又,,.若，,,.故D正确.故选：CD.12、答案：ACD解析：设，则，对A，，，所以，故A正确；对B，，只有当时，，故不一定成立，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D正确.故选：ACD.13、答案：一解析：，，，所以对应的点为，在第一象限，故答案为：一14、答案：解析：由得，所以，所以O,B,C三点共线，所以.又因为，所以，所以，故向量在方向上的投影为.15、答案：.解析：由题意可知，，，可以将四面体补形为以、、为棱的长方体，如图：，,此长方体与四面体有相同的外接球，且长方体的体对角线就是四面体的外接球的直径，为，故球的半径为，所以该球的表面积为.故答案为：.16、答案： ①②1解析：因为，所以.17、答案：（1）或；（2）解析：（1）设，则，，由且可得，，解得或，的坐标为或（2）根据题意取，则，，又，则，解得： 18、答案：（1）；（2），解析：（1），且， .由正弦定理得， .（2），所以由余弦定理得，19、答案：（1）；（2）解析：（1），则，则，则（2）若，则，变形可得：，又，则时，，时，，故的取值范围为20、答案：（1）证明见解析；（2）.解析：（1）证明：连接CM，CN，因为N，D分别为，中点，所以，，又因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又M为AB中点，所以，又，，所以平面平面，又平面MCN，所以平面.（2）连接BD，因为，，，平面，平面，所以平面，所以，，，，，在中，，，，所以，所以，，所以四棱锥的表面积.21、答案：（1）证明见详解；（2）.解析：（1）四边形是菱形，，又面，面，面ABC，同理得，面ABC，，面，且，面面，又面，平面ABC；（2），，，，，，，在菱形中，，，，面面，取AC的中点M，连接BM，，面，面ABC，由（1）知，面面， 点B到面的距离为，又点B到面的距离为，连接，则.22、答案：（1）见解析； （2）.解析：（1）因为 ，，所以,因为四边形CDEF为矩形，所以，因为DE,平面ADE,所以平面ADE，因为，所以平面ADE (2)因为 ，，所以，由（1）得平面ADE，所以直线DE,DA,DC两两互相垂直，故以点D为坐标原点，分别以，，正方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，则,，，， ，,设平面EBC和平面BCF法向量分别为，，则,所以，取得，同理，所以,取得 设所求角为，则，即所求锐二面角的余弦值为.。