数理方程：第4章 4_2 格林函数.ppt

二维、三维二维、三维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的基本解基本解分别为分别为1 12 2(6)(6)格林第二公式格林第二公式(8)(8)3 3调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式1性质性质1 1(12)(12)调和函数的基本性质调和函数的基本性质4 4设函数设函数它在它在上连续，且上连续，且不为常数不为常数，， 则则内的内的调和函数调和函数，，是区域是区域性质性质3 3它的最大值、它的最大值、最小值只能在边界最小值只能在边界 上达到上达到 ( (极值原理极值原理) )性质性质2 2(13)(13)2设设且在且在上连续，上连续，则在则在内的内的调和函数调和函数，， 都是区域都是区域推论推论1 1若在若在且只有在且只有在时，时，( (比较原理比较原理) ) 边界边界 上成立不等式上成立不等式内该不等式同样成立，内该不等式同样成立，内等号才成立内等号才成立在在3的解是惟一性的解是惟一性拉普拉斯方程狄利克雷问题：拉普拉斯方程狄利克雷问题： (14)(14)推论推论2(2(唯一性唯一性) )44.2 4.2 格林函数格林函数对于在区域对于在区域有一阶连续偏导数的函数有一阶连续偏导数的函数我们有等式我们有等式在边界在边界还不能直接由还不能直接由(8)(8)式求出。

式求出此积分表达式表示函数此积分表达式表示函数但但狄利克雷问题狄利克雷问题或或诺依曼问题诺依曼问题的解的解上的数值上的数值表示出来表示出来中为中为调和函数调和函数，在，在及其法向导数及其法向导数上具上具(8)(8)内部的数值内部的数值在区域在区域可以用函数可以用函数54.2 4.2 格林函数格林函数对于在区域对于在区域有一阶连续偏导数的函数有一阶连续偏导数的函数我们有等式我们有等式由于由于在边界在边界因此因此比如，对于比如，对于狄利克雷问题狄利克雷问题，，上上狄利克雷问题狄利克雷问题的解是的解是惟一惟一的，的，上的值就不知道，上的值就不知道，的值就不能再任意给定了的值就不能再任意给定了中为中为调和函数调和函数，在，在而而上具上具(8)(8)上的值是已上的值是已在在给定的，给定的，在边界在边界比如，对于比如，对于狄利克雷问题狄利克雷问题，，而而上的值是已上的值是已64.2 4.2 格林函数格林函数对于在区域对于在区域有一阶连续偏导数的函数有一阶连续偏导数的函数我们有等式我们有等式所以为了求解所以为了求解狄利克雷问题狄利克雷问题，，函数函数的概念中为中为调和函数调和函数，在，在上具上具(8)(8)我们自然首先想到我们自然首先想到从公式从公式(8)(8)中设法中设法消去消去还需要借助还需要借助格林第二公式格林第二公式(6)(6)为此，需要引入为此，需要引入格林格林7(8)(8)(6)(6)在在格林第二公式格林第二公式(6)(6)中，取中，取调和函数调和函数，，均为区域均为区域将上式与将上式与(8)(8)式相加得式相加得内的内的并且在并且在则得则得上有连续的一阶偏导数，上有连续的一阶偏导数，(15)(15)8(8)(8)(6)(6)如果选取如果选取调和函数调和函数(15)(15)使之满足使之满足项就消失了，项就消失了，这样这样(15)(15)式中的式中的于是有于是有(16)(16)9选取的选取的调和函数调和函数满足满足于是有于是有(16)(16)令令(17)(17)则则(16)(16)式可表示为式可表示为(18)(18)称为称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的格林函数格林函数其中其中( (或或上恒等于上恒等于0 0. .称为称为狄利克雷问题狄利克雷问题的的源函数源函数).).在在而且而且边界边界10(19)(19)(17)(17)(18)(18)已经知道，已经知道，因此，如果因此，如果格林函数格林函数并且并且上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数，斯方程斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在在它在它在那么问题那么问题(19)(19)的解可表示为的解可表示为(20)(20)如果如果拉普拉拉普拉11(17)(17)已经知道，已经知道，因此，如果因此，如果格林函数格林函数并且并且上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数，对于对于泊松方程泊松方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题而言而言上如果存在一阶连续偏导数的解，上如果存在一阶连续偏导数的解，在在它在它在解必能表示为解必能表示为则这个则这个(20)(20)12(17)(17)应用应用(20)(20)求解拉普拉斯方程的求解拉普拉斯方程的狄利克雷问题狄利克雷问题时，时，关键在于要找到关键在于要找到格林函数格林函数(17)(17)是下面是下面特殊的狄利克雷问题特殊的狄利克雷问题的解的解由这个函数由这个函数问题的格林函数问题的格林函数。

其中其中确定的格林函数，称为确定的格林函数，称为第一边值第一边值(20)(20)(21)(21)( (对于某些对于某些特殊区域特殊区域，如，如球域球域、、半空间半空间等，可求出格林函数等，可求出格林函数) )13补充补充3 3 定义定义平面上第一边值问题的格林函数平面上第一边值问题的格林函数并并为此，我们需要借助公式为此，我们需要借助公式和和平面上的第二格林公式平面上的第二格林公式导出该问题导出该问题解的积分表达式解的积分表达式(8(8’)’)(6(6’)’)14在在格林公式格林公式(6’)(6’)中，中，取取调和函数，调和函数，均为区域均为区域将上式与将上式与(8’)(8’)式相加得式相加得内的内的并且在并且在，则得，则得上有连续的一阶偏导数上有连续的一阶偏导数(15(15’)’)(6(6’)’)(8(8’)’)15如果选取如果选取调和函数调和函数满足满足项就消失了，项就消失了，这样这样(15’)(15’)式中式中的的于是有于是有(16(16’)’)(6(6’)’)(8(8’)’)(15(15’)’)16令令(17(17’)’)则则(16’)(16’)式可表示式可表示为为(18(18’)’)称为称为二维二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的格林函数格林函数其中其中上恒等于上恒等于0 0. .( (或称或称狄利克雷问题狄利克雷问题的的源函数源函数).).在在而且而且边界边界(16(16’)’)17(19(19’)’)已经知道，已经知道，因此，如果因此，如果格林函数格林函数并且并且上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数，如果如果二维二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在在它在它在那么问题那么问题(19’)(19’)的解可表示为的解可表示为(20(20’)’)(17(17’)’)(18(18’)’)18应用应用(18’)(18’)求解拉普拉斯方程求解拉普拉斯方程狄利克雷问题狄利克雷问题时，时，关键在于要找到关键在于要找到格林函数格林函数(17’)(17’)是下面是下面特殊的狄利克雷问题特殊的狄利克雷问题的解的解由这个函数由这个函数问题的格林函数问题的格林函数。

其中其中确定的格林函数，称为确定的格林函数，称为第一边值第一边值(21(21’)’)( (对于某些对于某些特殊区域特殊区域，如，如圆域圆域、、半平面半平面等，可求出格林函数等，可求出格林函数) )(17(17’)’)(18(18’)’)19(17)(17)格林函数格林函数的几个重要的几个重要性质性质：：格林函数格林函数当当处处满足拉普拉斯方程，处处满足拉普拉斯方程，一点外一点外在除去在除去性质性质1 1相同趋于无穷大，趋于无穷大，时，时，其阶数和其阶数和在在边界边界恒等于恒等于0.0.上格林函数上格林函数性质性质2 2在在区域区域内内，下面不等式成立，下面不等式成立性质性质3 320(17)(17)格林函数格林函数的几个重要的几个重要性质性质：：格林函数格林函数即若即若之间具有对称性质，之间具有对称性质，和参变量和参变量关于自变量关于自变量性质性质4 4这个性质在这个性质在电学上的意义电学上的意义可以这样来描述：可以这样来描述：则则处的处的单位单位点电荷在点电荷在类似于这样的原理，在物理学中称为类似于这样的原理，在物理学中称为互易原理互易原理处产生的电位等于处产生的电位等于( (对称性对称性) )处的处的单位单位点电荷在点电荷在处产生的电位。

处产生的电位21(17)(17)格林函数格林函数的几个重要的几个重要性质性质：：性质性质5 5一方面利用关系式一方面利用关系式(20)(20)，，证证考察下列考察下列狄利克雷问题狄利克雷问题(20)(20)可得可得另一方面由另一方面由极值原理极值原理知此问题解为知此问题解为根据根据狄利克雷问题解的惟一性狄利克雷问题解的惟一性可知性质可知性质5 5成立22(17)(17)格林函数格林函数在静电学中的在静电学中的物理意义物理意义：：处放一处放一单位正单位正电荷，电荷， 则在自由空间则在自由空间中，中，设在点设在点它所产生的电位为它所产生的电位为在在导电面内导电面内的电位，可用函数的电位，可用函数则此时则此时而这个导电面又是接地的，而这个导电面又是接地的，点的点电荷是包围在一个封闭的点的点电荷是包围在一个封闭的导电面内，导电面内，如果在如果在来表示，来表示， 此函数在此函数在导电面上恒等于导电面上恒等于0 0，， 其中函数其中函数正好表示导电面上感应电荷所产生的电位正好表示导电面上感应电荷所产生的电位234.3 4.3 格林函数的应用格林函数的应用由公式由公式分表示出来分表示出来则在这个区域内，则在这个区域内，可知，对于一个由曲面可知，对于一个由曲面普拉斯方程普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题的解就可以用此积的解就可以用此积源像法源像法( (镜像法镜像法) )求得。

求得拉拉它的格林函数可用它的格林函数可用静电静电对于某些特殊区域，对于某些特殊区域，只要求出它的只要求出它的格林函数格林函数，，来说，来说，围成的区域围成的区域(20)(20)(17)(17)244.3 4.3 格林函数的应用格林函数的应用关于关于的的像点像点( (对称点对称点) )所谓所谓镜像法镜像法，，处放置处放置适当的负电荷，适当的负电荷，此时二者形成电场在此时二者形成电场在然后在这个像点然后在这个像点点点由它所产生的由它所产生的负电位负电位与与边界边界外外找出点找出点就是就是在区域在区域(17)(17)内内的电位，的电位，处的处的单位正电荷单位正电荷所产生的所产生的正电位正电位在曲面在曲面上上互相抵消，互相抵消，就相当于所要求的就相当于所要求的格林函数格林函数25(20)(20)(17)(17)4.3.1 4.3.1 半空间的格林函数半空间的格林函数及狄利克雷问题及狄利克雷问题求解上半空间求解上半空间内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23)(23)(22)(22)先求出格林函数先求出格林函数为此，为此，在上半空间在上半空间的点的点处放置一处放置一单位正电荷单位正电荷，， 在点在点的对称点的对称点关于平面关于平面处放置一处放置一单位负电荷单位负电荷。

26(20)(20)(17)(17)4.3.1 4.3.1 半空间的格林函数及狄利克雷问题半空间的格林函数及狄利克雷问题求解上半空间求解上半空间内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23)(23)(22)(22)由它们所形成的静电场的电位由它们所形成的静电场的电位在平面在平面上上因此，因此，上半空间的格林函数上半空间的格林函数为为恰好为恰好为0 0. .(24)(24)27(20)(20)为了求得问题为了求得问题(22)(23)(22)(23)的解，需要计算的解，需要计算由于在平面由于在平面上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，轴的负轴的负(24)(24)28(20)(20)为了求得问题为了求得问题(22)(23)(22)(23)的解，需要计算的解，需要计算由于在平面由于在平面上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，轴的负轴的负(24)(24)29(20)(20)为了求得问题为了求得问题(22)(23)(22)(23)的解，需要计算的解，需要计算由于在平面由于在平面上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，轴的负轴的负(24)(24)30(20)(20)因此，因此，(24)(24)(25)(25)将将(25)(25)代入代入(20)(20)中，得到定解问题中，得到定解问题(22)(23)(22)(23)的解的解(26)(26)31(26)(26)设在均匀的半空间的边界上保持定常温度设在均匀的半空间的边界上保持定常温度，在圆，在圆之内等于之内等于1 1，，例例1 1而在其外等于而在其外等于0.0.求在半空间内温度的求在半空间内温度的稳定分布稳定分布。

解解这个问题归结为如下定解问题这个问题归结为如下定解问题由公式由公式(26)(26)可得可得32应用极坐标：应用极坐标：在在轴的轴的正半轴正半轴上，有上，有是是圆域圆域，，由于积分区域由于积分区域特别地，特别地，得得当当沿沿轴的轴的正半轴趋于无穷时正半轴趋于无穷时，，33补充补充4 4 半平面的格林函数及狄利克雷问题半平面的格林函数及狄利克雷问题(20(20’)’)(17(17’)’)求解上半平面求解上半平面内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23(23’)’)(22(22’)’)先求出格林函数先求出格林函数为此，为此，在上半平面在上半平面的点的点处放置一处放置一单位正电荷单位正电荷，，在点在点的对称点的对称点关于边界关于边界处放置一处放置一单位负电荷单位负电荷34由它们所形成的静电场的电位由它们所形成的静电场的电位在边界在边界上上因此，因此，上半平面的格林函数上半平面的格林函数为为恰好为恰好为0 0. .(24(24’)’)补充补充4 4 半平面的格林函数及狄利克雷问题半平面的格林函数及狄利克雷问题(20(20’)’)(17(17’)’)求解上半平面求解上半平面内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23(23’)’)(22(22’)’)35为了求得问题为了求得问题(22’)(23’)(22’)(23’)的解，需要计的解，需要计算算由于在边界由于在边界上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，轴的负轴的负(20(20’)’)(24(24’)’)36因此，因此，(20(20’)’)(24(24’)’)37(25(25’)’)将将(25’)(25’)代入代入(20’)(20’)中，可得中，可得半平面拉普拉斯方半平面拉普拉斯方程程(26(26’)’)因此，因此，(20(20’)’)(23(23’)’)(22(22’)’)解的积分表达式解的积分表达式狄利克雷问题狄利克雷问题38(20)(20)(17)(17)4.3.2 4.3.2 球域的格林函数及狄利克雷问题球域的格林函数及狄利克雷问题求解求解球域上球域上的狄利克雷问题：的狄利克雷问题：(28)(28)(27)(27)其中其中是以是以边界为边界为为心，为心，现在利用现在利用静电源像法静电源像法求球的求球的格林函数格林函数。

为此，为此，在半射线在半射线为半径的球域，为半径的球域，上截取上截取在球内任取一点在球内任取一点线段线段使使(29)(29)39(20)(20)(17)(17)点点称为点称为点的的反演点或对称点反演点或对称点关于球面关于球面要适当选取要适当选取电位电位在球面在球面上正好抵消上正好抵消则应有则应有满足关系式满足关系式设设 是球面上任一点，是球面上任一点，(29)(29)为求出格林函数为求出格林函数在点在点处放置处放置单位单位正电荷正电荷，，我们我们的值，的值， 使得这两个点电荷所产生的使得这两个点电荷所产生的在点在点处放置处放置 单位的负电荷单位的负电荷，，40(20)(20)(17)(17)与与在点在点而夹此角而夹此角有公共角，有公共角，三角形相似三角形相似也就是说我们必须在点也就是说我们必须在点电荷电荷处放置处放置由于由于单位的负单位的负的相应两边按的相应两边按(29)(29)式是成比例的，式是成比例的，从而有从而有因此这两个因此这两个由此得由此得41(20)(20)(17)(17)那么，以那么，以记记则则(30)(30)式变形为式变形为的夹角，的夹角，为球面的为球面的球域的格林函数球域的格林函数就是就是是是(30)(30)和和42(20)(20)(17)(17)利用关系式利用关系式(29)(29)则可得则可得为了求解原问题为了求解原问题(27)(28)(27)(28)的解，还需算出的解，还需算出43(20)(20)(17)(17)在球面在球面 上，上，44(20)(20)(17)(17)在球面在球面 上，上，因此，由因此，由(20)(20)得问题得问题(27)(28)(27)(28)的解的表达式为的解的表达式为(31)(31)45(20)(20)(17)(17)因此，由因此，由(20)(20)得问题得问题(27)(28)(27)(28)的解的表达式为的解的表达式为(31)(31)在在球坐标系球坐标系中，表达式中，表达式(31)(31)变为变为(32)(32)公式公式(31)(31)或或(32)(32)称为称为球域上的泊松公式球域上的泊松公式46(32)(32)公式公式(31)(31)或或(32)(32)称为称为球域上的泊松公式球域上的泊松公式其中其中上点的流动坐标，上点的流动坐标，的球坐标，的球坐标，是点是点是球面是球面夹角的余弦，夹角的余弦，是是和和由于由于所以所以47(32)(32)其中其中设有一半径为设有一半径为 的均匀球，的均匀球，保持为保持为例例2 2上半球面上半球面的温度的温度温度的温度的稳定分布稳定分布。

解解这个问题归结为如下定解问题这个问题归结为如下定解问题求球内求球内下半球面下半球面的温度保持为的温度保持为48(32)(32)其中其中解解这个问题归结为如下定解问题这个问题归结为如下定解问题利用公式利用公式(32)(32)得得49其中其中特别的，求温度在球的特别的，求温度在球的铅垂直径铅垂直径：：( (直径的直径的上半部分上半部分) )和和( (下半部分下半部分) )上的分布上的分布当当时，时，故故50其中其中特别的，求温度在球的特别的，求温度在球的铅垂直径铅垂直径：：( (直径的直径的上半部分上半部分) )和和( (下半部分下半部分) )上的分布上的分布当当时，时，故故当当时，时，故故51。