八个有趣的模型的外接球与内接球.docx

空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2二a2 + b2 + c2 ,即2R =3 + b + c2 ,求出R例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A. 16i B. 20k c. 24k d. 32兀解: V = a2h = 16 , a = 2, 4R2 = a2 + a2 + h2 = 4 + 4 +16 = 24 , S = 24k ，选 c；C（3）题-1引理： 正三棱锥的对棱互垂直4)在四面体S — ABC 中，SA 丄平面ABC , ABAC = 1200,SA = AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球的表面积为（ D ）A.11kb.7k c.10 k d.40 k3 35）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是.6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设：如图5, PA丄平面ABC图5解题步骤：第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心0 ；第二步：01为AABC的外心，所以Oq丄平面ABC，算出小圆0」勺半径0D = r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a _ bsin A sin Bcsin C)，OO 二-PA；2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2二PA2 + (2r)2 o2R = xPA2 + (2r)2 ；② R2 = r2 + 00 2 o R = \：r2 + 002i v 12.题设：如图6, 7, 8，P的射影是AABC的外心o三棱锥P- ABC的三条侧棱相等o三棱锥P - ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图8-1图8-2图8-3解题步骤: 第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心O],则P, 0,01三点共线；第二步：先算出小圆0]的半径r，再算出棱锥的高PO1 = h （也是圆锥的高）;第三步：勾股定理：OA2 二 O A2 + OO2 n R2 二（h — R）2 + r2 ,解出 R1 1方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C16兀A. % B. 2兀 C. 一 D.以上都不对3类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1. 题设：如图9-1,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC = 2r ；a b c第二步：在APAC中，可根据正弦定理 = = =2R，求出Rsin A sin B sin C2. 如图9-2，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC为小圆的直径）OC2 = O C2 + O O2 o R2 = r2 + O O2 o AC = 2 JR2 一 O O21 1 1 T 13. 如图9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC为小圆的直径），且P的射影 是AABC的外心o三棱锥P — ABC的三条侧棱相等o三棱P — ABC的底面AABC在 圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤： 第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心O］,则P, 0,01三点共线；第二步：先算出小圆O］的半径r，再算出棱锥的高PO1 = h (也是圆锥的高);第三步：勾股定理：OA2 二 OiA2 + OiO2 = R2 -(h-R)2 +r2，解出 R例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2<3，则该球 的表面积为.(2)正四棱锥S- ABCD的底面边长和各侧棱长都为^2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为.(3)已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的求面上,AABC是边长为1的正三角形,)ASC为球O的直径，且SC = 2，则此棱锥的体积为(D．类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的题设：如图10-1，图 10-2，图10-3,直三棱柱内接于球 上下底面可以是任意三角形) 第一步：确定球心O的位置，O］是AABC的外心，则OO］丄平面ABC；11第二步：算出小圆O的半径AO = r， OO —— AA —— h ( AA — h也是圆柱的咼);1 1 1 2 1 2 1第三步：勾股定理：OA2 二 O]A2 + O]O2 n R2 二(-)2 + r2 n R = ,'r2 + (-)2，解出 R例4 (1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在9同一个球面上，且该六棱柱的体积为石，底面周长为3，则这个球的体积为 8(2 )直三棱柱ABC — ABC的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA — 2 ,1 1 1 1ZBAC =1200，则此球的表面积等于 。

3)已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA — EB — 3, AD — 2, ZAEB — 60则多面体E — ABCD的外接球的表面积为 类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图 11)图11第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出ABCD和AABD的外心竹和H ；2第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连 12接 OE, OC ；第三步：解AOEH，算出OH，在RtAOCH中，勾股定理：OH2 + CH2 — OC21 1 1 1 1例5三棱锥P — ABC中，平面PAC丄平面ABC，△ PAC和AABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P - ABC外接球的半径为 .类型六、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径( AB—CD ， AD—BC，AC— BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步:设出长方体的长宽咼分别为a,b,c , AD — BC = x , AB — CD — y , AC = BD — z , 列方程组，< b2 + c2 — y2 n (2R)2 — a2 + b2 + c2 —图12补充: VA-BCD11—abc 一 abc x 4 — — abc6 3x 2 + y 2 + z 2 第三步：根据墙角模型，2R —、：a2 + b2 + c2 —R2 - x2 + y2 + z2，R- ,：x2 + y2 + z2，求出 R,例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例 6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 .2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A．B．4D．亘12(4)如图所示三棱锥A — BCD，其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为 .类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型C图13题设：ZAPB = ZACB = 90，求三棱锥P — ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O,连接1OP, OC，则OA = OB = OC = OP = — AB，•. O为三棱锥P — ABC外接球球心，然后在2OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值例7 （1）在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B — AC — D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）D．1—531—5 1—5 1—5A. 兀 B. 兀 C. 兀1—9 6类型八、锥体的内切球问题 1.题设：如图14,三棱锥P — ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。

第一步：先现出内切球的截面图， E,H 分别是两个三角形的外心；D HB图14第二步：求DH = 3BD , PO = PH — r , PD是侧面AABP的高;OE PO第三步：由APOE相似于APDH，建立等式： = ，解出rDH PD2.题设：如图15,四棱锥P — ABC上正四棱锥，求其外接球的半径图15第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；1第二步：求FH =-BC , PO = PH — r , PF是侧面APCD的高；2 OG PO第三步：由APOG相似于APFH，建立等式： 二 ，解出HF PF3.题设：三棱锥P — ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：V 二V +V +V +V nP—ABC O— ABC O—PAB O—PAC O—PBC1 1 1 1 1V 二一S - r + S - r + S - r + S - r 二（S + S + S + S ） - rP— ABC 3 AABC 3 PAB 3 PAC 3 PBC 3 AABC APAB PAC APBC第三步：解出r =3V P ABC S + S + S + SO—ABC O—PAB O—PAC O—PBC课后练习 典例1已知正三棱锥P - ABC，点P，A，B，C都在半径为＜3的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（ ）A．<33D．典例2在三棱锥O — ABC中，OA， OB， OC两两垂直，且OA = 3， OB = OC = 2 .若 以O为球心，丫（厂＞ 0）为半径做一个球，当球面与AABC所在平面相切时，r = .兀1•已知三棱锥A-BCD的顶点均在球O的球面上，且AB = AC = AD »3, ZBCD =-,若H是点A在平面BCD内的正投影，且CH = J2，则球O的体积是（ ）A. 4*'3兀B．C．8\/2 兀3D.2.四面体P - ABC的四个顶点坐标为P（0,0,2）,a(0,0,0), b C,2 J3,o), C G八3,0),则该四面体外接球的体积为（ ）A.32兀"TC. 20 nD.3•已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P - ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱 锥底面中心O.若三棱锥P- ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与 圆柱外接球的半径之比为（ ）A. 2: 1 B. 7: 4 C. 3: 1 D. 5: 34•已知三棱锥。