高考数学总复习-上海版6-数列与极限.doc

20152015高考数学资料高考数学资料- -上海上海版版第七章第七章 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 基础部分基础部分 1.数列的有关概念数列的有关概念 1）按一定次序排列的一列数称为数列； 2）数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法． 3）an与 Sn的关系：；11nn+1na = S ,n =1a = S-S ,n2【数列分析的主要方法】 1）给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归； 2）数列前 n 项的和 Sn 和通项 an 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意nn+1na = S-S条件 n≥2 ，求通项时一定要验证 a1 是否适合． 2.等差数列等差数列等差数列｛an｝的通项公式，，公差为 d n1aa(n1)d前 n 项和公式， 1 11 22n naan(n)Snadn【等差数列的典型性质】 ①如果 m＋n＝p＋q，则 am +an= ap +aq ②如果Sm表示数列前m项的和，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，公差为m2d【G1302W-B】在等差数列中，若 a1+ a2+ a3+ a4=30，则 a2+ a3= . na解：因为数列 {an}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3， 由 a1+a2+a3+a4=30，则 a2+a3=15．故答案为 15．3.等比数列等比数列等比数列｛an｝的通项公式，，公比为 q；1 1nnaa q前 n 项和公式， ，q≠1n 1 1n 1na (1q...q)a (1 q )S1 q【类比】nnn 1n 2n rr 1n 1xy(xy)(xxy...xy...y)【等比数列的典型性质】 如果 m＋n＝p＋q，则 am.an= ap .aq； *非 0 常数项既是等差数列，也是等比数列；【G1322W-B】(3+5+8 分)已知函数，无穷数列满足 an+1=f(an),n∈N*xx 2)(f na（1）若 a1=0，求 a2，a3，a4； （2）若 a1＞0，且 a1，a2，a3成等比数列，求 a1的值. （3）是否存在 a1，使得 a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1；若不存在，说明理由.4.简单的递推数列简单的递推数列 2. 递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系 an＋k＝f（an＋k－1，an＋k－2，…，an）称为数列的递归关系．由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列．如由 an＋1＝2an＋1，及 a1＝1，确定的数列}12{n即为递归 数列． 数列的递推公式 如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第 2 项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关na1na系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种： （1）归纳、猜想． （2）迭代法． （3）代换法．包括代数代换，对数代数，三角代数． （4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题．【G1214W-A】已知，各项均为正数的数列满足，，若，则1( )1f xx na11a 2()nnaf a20102012aa的值是 2011aa解：，，，，，，，类似斐波那契数列； 21()1nn naf aa11a 31 2a 52 3a 73 5a 95 8a 118 13a ，则，20102012 20101 1aaa220201051 2aaa20118513 13 5 13226aa5.数列的极限数列的极限 【【数列的极限数列的极限】】 数列的极限是指对于数列{an}，无限趋近于一个唯一的常数； 极限与趋近方式无关如数列，n nanlim1.nna 证明：时，2n.22212211 102 nnn nnnnnnnnn【【极限的四则运算极限的四则运算】】若,nnlimaA nnlimbB 则；，，nnnlim(ab )AB nnnlim(ab )A B ggnnnaAlimbBB0极限的求法极限的求法 原则一：先化简约分，再代入求值 原则二：舍低次留高次，对于（1，-1）区间的数，舍高次留低次； 原则三：对于指数不一致的项式，先化简成指数一致的；【G1102W-C】 。

3lim(1)3nn n解：==－2.3lim(1)3nn n3lim(1)31n n 311 06.无穷等比数列各项的和无穷等比数列各项的和 无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比 q 的绝对值小于 1，则其各项的和 S 为21 1111,,,...,...na a q a qa q1,11aS【G1206-B&W7】有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，1 212,,...,,...nV VV则______ 12lim(...)nnVVV 答案：8/7【G0814-C】.若数列｛an｝是首项为 l，公比为的无穷等比数列，且｛an｝各项的和为 a，则 a 值是（ 3 2a）（A）1. (B)2. (C) (D)1 25 4解析：，解得1= (1)1Sa 2a 7.数列的实际应用问题数列的实际应用问题 1）数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式：an＝11 sssnn12nn． （2）求通项常用方法 ①作新数列法．作等差数列与等比数列． ②累差叠加法．最基本的形式是：an＝（an－an－1）＋（an－1＋an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1． ③归纳、猜想法．（3）数列前 n 项和 ①重要公式：等差和等比数列的求和公式1＋2＋…＋n＝21n（n＋1） ；12＋22＋…＋n2＝61n（n＋1） （2n＋1） ；13＋23＋…＋n3＝（1＋2＋…＋n）2＝41n2（n＋1）2； ②裂项相消法 将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an＝f（n＋1）－f（n） ，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先 裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)11(1 ))((1 CAnBAnBCCAnBAnan 、) 1(1 nn＝n1－11 n等． ③错位相减法（可用于推导等比数列前 n 项和公式）对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错位相减法．nnncba， 其中  nb是等差数列，  nc是等比数列，记nnnnncbcbcbcbS112211，则1 211nnnnnqSbcbcb c，… ④分组转化求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求 Sn． ⑤倒序相加法（可用于推导等差数列前 n 项和公式） 2）求递推公式 递推数列求通项的特征归纳（1）累加法1( )nnaaf n（2）累乘法1( )nnaf na（3）化归法：①；1(0,1)nnaAaB AA1()nnaA a()1B A②21nnnapaqa211()()nnnnaapaa（4）归纳法：计算项数 a2，a3，a4 的规律特征，然后证明（5）倒数法：常见是等差数列‘11n n naapa111nnpaa1{}na8.数学归纳法数学归纳法 数学归纳法的原理：命题的初始项成立，并存在递推关系 【步骤】 （1）当 n=1（或其它初始项）时，原命题成立； （2）假设当 n=k 时，原命题成立， 证明当 n=k+1 时，原命题也成立； （3）给出结论 【例题】已知 m 为正整数。

Ⅰ.用数学归纳法证明：当 x>-1 时， （1+x）m≥1+mx； （Ⅰ）证：用数学归纳法证明： 【解析】 （i）当 m=1 时，原不等式成立；当 m=2 时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x,因为 x2≥0, 所以左边≥右边，原不等式成立； （ii）假设当 m=k 时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当 m=k+1 时，两边同乘以 1+x 得kxxxxk11, 01, 1不不不不不不不不Q，xkkxxkxkxxxk) 1(1) 1(1)1)(1 ()1 ()1 (2所以时，不等式也成立1,) 1(1)1 (1kmxkxk不不综合（i） （ii）知，对一切正整数 m，不等式都成立. 9.归纳—猜测—论证 对于命题，先归纳出几个特例是否成立；然后进行猜测结论，最后对结论进行论证； 对于数列类型命题，可先求出初始项，再猜测和论证；习题部分习题部分 1.等差数列的分析等差数列的分析【G1310-B】设非零常数 d 是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则12319,,,,x xxxL12319,,,,x xxxL方差_______D解析：，；10xx2222[(9 )(8 )...]19Dddd230d2.等比数列的分析等比数列的分析【G1118-C】设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的面积（） ，则为等比{}naiA1,iia a1,2,i L{}nA数列的充要条件是（ ）A．．是等比数列 B．．或是等比数列{}na1321,,,,na aaLL242,,,,na aaLLC．．和均是等比数列1321,,,,na aaLL242,,,,na aaLLD．．和均是等比数列，且公比相同1321,,,,na aaLL242,,,,na aaLL解析：为等比数列，选 D；{}nA1221iiiiiia aaqa aa【G1423W-A*】已知数列满足.{}na1113,*,13nnnaaa nNa（1）若，求的取值范围；2342,,9aax ax（2）若是等比数列，，求正整数 m 的最小值，以及m 取最小值时相应 {an}的公比；；{}na1 1000ma （3）若成等差数列，，求数列 a1，a2，…a100的公差的取值范围12100,,...,a aa【G1423-A】已知数列满足.{}na1113,*,13nnnaaa nNa（1）若，求的取值范围；2342,,9aax ax（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；{}naq12nnSaaaL113,*,3nnnSSS nNq（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相12,,,ka aaL121000kaaaLkk应数列的公差.12,,,ka aaL[解]（1）由条件得且，解得. 所以 x 的取值范围是[3,6].263x933xx36x（2）由，且,得，所以133nnaa1 10n naa q0na 11 3nnSS又，所以nnnaaa3311133q当时，，由得成立1q 1,1nnSn Sn13nn 13nnSS当时，即1q 13nnSS111311nn  ① 若，则，13q(3)2nq q由，得，所以,n nN(3)2q q12.q② 若，则113q(3)2nq q由，得，所以,n nN(3)2q q11。