因式分解例题(附答案)(汇总).docx

因式分解 例题讲解及练习【例题精选】：〔1〕5x2y 15x3y2 20x2 y3 评析：先查各项系数〔其它字母暂时不看〕 ，确定 5，15，20 的最大 公因数是5,确定系数是5 ,再查各项是否都有字母X,各项都有时， 再确定X的最低次幕是几，至此确认提取 X，同法确定提Y,最后确 定提公因式5乂丫提取公因式后，再算出括号内各项解： 5x2y 15x3y2 20x2 y3= 5x2 y(1 3xy 4y2)〔2〕 3x2 y 12x2 yz 9x3y2 评析：多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最 大公因数为 3,且一样字母最低次的项是 X2Y2 2 3 2解: 3x2 y 12x2 yz 9x3y2= (9x3y2 12x2yz 3x2y)= 3(3x3y2 4x2yz x2y)2= 3x2 y(3xy 42 1)〔3〕(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a) 评析：在此题中, y-x 和 x-y 都可以做为公因式,但应防止负号过 多的情况出现,所以应提取 y-x解：原式 =(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a)3 4 3(4) 〔 4〕 把32x y 2x分解因式评析：这个多项式有公因式 2x3，应先提取公因式，剩余的多项式 16y4-1 具备平方差公式的形式解：32x3y4 2x3=2x3(16y4 1)=2x3(4y2 1)(4y2 1) =2x3(2y 1)(2y 1)(4y2 1)7 2 8(5) 〔 5〕 把xy xy分解因式评析：首先提取公因式 xy2，剩下的多项式 x6-y6可以看作3 2 3 2(x ) (y )用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。

对于x6-y6也可以变成(x2)3(y2)3先运用立方差公式分解，但比较 麻烦72 8解： x7y2 xy82 6 6 2 3 2 3 2 2 3 3 3 3=xy (x -y )= xy [ (x ) (y ) ]= xy (x y )(x y )= xy2(x y)(x2 xy y2)(x y)(x2 xy y2)2 2〔6〕把(x y) 12(x y)z 36z 分解因式y)2y)212(x y)z 36z22(x y)(6z) (6z)2=(x+y-6z) 21 2 2 2 2 2 2 把 ^(x 2y ) 2(x 2y )y 2y评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次 三项式，并且为降幕排列，适合完全平方公式对于本例中的多项 式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y) 代换完全平方公式中的a,〔6Z〕换公式中的解：(x2 小2、2 一 2 小2、2 4y分解因式=(x(7) 〔 7〕(8) 〔 8〕评析：初看，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)一个完全平方式，应采用“2 2a -b -2b-1评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2 和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项， 不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。

解:如22y2)2 2(x22y2)y2 :=扣：2y2)2 2(x22y2)?2y1 / 2 =2(x2y2 2y2)21 / 22(x 4yE(x2 22y) (x 2y)2y42)22 (2y2)2]分解因式前两项可用平方差公式分解采用“二、二〃分组， ，此时无法继续分解再仔细看，后三项是 一、三〃分组2 2解 ： a -b -2b-仁a2-(b 2-2b+1)=a2-(b+1) 2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三〃分解，最后要用“平方差〃四项式“二、二〃分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案9) 〔 9〕 把 a2-ab+ac-bc 分解因式解法一：a2-ab+ac-bc=(a 2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：2 2a -ab+ac-bc=(a +ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) ==(a-b)(a+c)(10)2〔10〕 把2x 2xy 3x 3y分解因式解法一：22x 2xy 3x 3y=2(2x 2xy) (3x 3y) 2x( x y) 3(x y) (x y)(2x3)解法二：22x 2xy 3x 3y= (2x2 3x) (2xy 3y) x(2x 3) y(2x 3) (2x 3)(x y)说明：例〔2〕和例〔3〕的解法一和解法二虽然分组不同，但却 有着一样的内在联系，即两组中的对应系数成比例。

1,解法二也是1: 1;〔 3〕题解法一是1： 1,解法二是 2：〔-3〕(11)分解因式x3 x2 x 1如是，就考虑“一一＞评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式 三〃分组；不是，就考虑“二、〔2〕题解法一 1 :解法一：x3X2X 1/ 3 2、=(x x )(X 1)X2(X 1)(X1)=(X 1)(x21)(X1)(X 1)(X1)(X1)2(X 1)解法二：x3X23X 1=XX (2 X1)X(X2 1)(X2 1)=(X21)(X1) (X •1)(X1)(X1)2(X 1) (X1)解法三：X3X2/ 3X 1=(X1)(X2X)(X 1)(X2X 1) x(x=(X1)(X2X 1 X)(X1)(:^22x 1) (x1)(X 1)2(12)〔12〕分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2分组1)——-〃评析：此题将〔a-b〕看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方 式，可以“一、三〃分组二［(a-b) 2-2c(a-b)+c 2卜仁［(a-b)-c］ c-1)2 2-1=(a-b-c) -1-(a-b-c+1)(a-b-8a -21b a +2b -21ab+16ab=-5ab 分解因式a6-10a3+16a\z-2)( a 3-8) a3 2-2)(a-2)(a +2a+4)〔15〕2+x+302-x-30)〔13〕分解因式 8a2-5ab-42b 2、.-解：8a2-5ab-42b 2=(8a-21b)(a+2b)〔14〕a6-10a3+163(14)解：=(a=(a(15)解：-x=-(x-8a分解因式-x2+x+30〔先提出负号〕x( x -6+5x-6x=-x-23 -83-2a3 =-10a 3+5=-(x+5)(x-6)(16) 〔 16〕 分解因式 12(x+y) 2-8(x+y)-7解：12(x+y) 2-8(x+y)-7 2(x+y) +1解: (a-b) 2-1-2c(a-b)+c 2二[2(x+y)+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7=(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=83 3 2 2〔17〕把x y x xy y分解因式评析： 此题是一个五项式, 它能否分组分解, 要看分组后组与组 之间是否出现公因式或是否符合公式。

此题注意到后三项当把 -1提出后,实际上是 xy 按立方差公式分解后的一个因式：解：3 x3y2x xy y2=(x33y)(x 2 2= (x2 2x)2 (x2 2x) 12 8= (x2 2x)2 (x2 2x) 20= [(x2 2x) 5][( x2 2x) 4] xyy2)=(xy)(x22xy y )(x22xy y )=(x2xyy2)(x y1)18)〔18〕把 x222yz2yz 2x 1分解因式评析：把 x2 2x 1看成一组符合完全平方公式, 而剩下的三项把-1 提出之后恰好也是完全平方式,这样分组后又可用平方差公式继续分解解： x22y2z2yz2x 1= (x22x1)(y22yz z2)= (x1)2(yz)2= (x1yz)(x 1y z)2 2〔 19〕分解因式 (x2 x 1)(x2 x 2) 6 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开,要注意到这 两个二次三项式的前两项都是 x2 x 这一显著特点,我们不妨设o o o x x =a 可得〔a+1〕〔 a+2〕-6 即 a +3a+2-6，即 a +3a-4，此时可分 解为〔 a+4〕〔 a-1 〕22解： (x2 x 1)(x2 x 2) 62 2 2=(x2 x)2 3(x2 x) 2 6= (x2 x)2 3(x2 x) 4= [(x2 x) 4][(x2 x) 1]22= (x2 x 4)(x2 x 1)22〔 20〕把 (x2 2x 4)(x2 2x 3) 8分解因式22解： (x2 2x 4)(x2 2x 3) 822= (X 2 2= (x2 8x)2 22(x2 8x)+96 2X 5)(X2 2X 4)22〔21〕把 (X2 3X 2)(X2 9X 20) 72分解因式评析：它不同于例 3〔1〕的形式,但通过观察,我们可以对这 两 个 二 次 三 项 式 先 进 展 分 解 , 有22(X2 3X 2)(X2 9X 20) (X 1)(X 2)(X 4)(X 5) 。

它又回到例 3〔1〕的 形式,我们把第一项和第三项结合在一起,第二、四项结合在一起, 都产生了〔 X2-3X 〕22解： (X2 3X 2)(X2 9X 20) 72= (X 1)(X 2)(X 4)(X 5) 72= [(X 1)(X 4)][( X 2)(X 5)] 7222= (X2 3X 4)(X2 3X 10) 72= (X2 3X)2 14(X2 3X) 32= [(X2 3X) 16][(X2 3X) 2]= (X2 3X 16)(X2 3X 2) (X2 3X 16)(X 2)(X 1)2〔22〕把(a 1)(a 2)(a 3)(a 6) a 分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积,要注意到常数有 1 x 6=2X 3=6利用结合律会出现a2+62解： (a 1)(a 2)(a 3)(a 6) a2= [(a 1)(a 6)][(a 2)(a 3)] a22 2 2= (a2 6 7a)(a2 6 5a) a22 2 2 2 2 2= (a2 6)2 12a(。