研究性课题分期付款的教学过程.doc

研究性课题:分期付款中的有关计算江苏省太仓高级中学（215400） 张惠良[教学目的]：要求学生会将一个以分期付款为背景的实际问题转化为数学问题,培养学生运用已学的数学知识分析问题和解决问题的能力.[教学重点]： 引导学生分析和解决实际问题[教学难点]： 将实际问题转化为数学问题即数学的建模过程[教学方法]： 学生自主探索，教师启发引导[教学手段]：多媒体辅助教学[教学过程]：一．复习引入，介绍课题1、复习有关复利计息知识来源于生活，数学知识也是如此，在我们的日常生活中，存在有大量的数学素材例如新教材P.91例2就是一个以复利计算利息的储蓄问题，我们先来重温一下1）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式 答：x期后的本利和为y=a（1+r）x（2）如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，……12个月后的本利和是多少？ 解:已知本金为a元,1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1+0.8%)3 …… 12月后的本利和为a(1+0.8%)12 数学的应用非常广泛，数学已渗透到现代科学的各个领域、国民经济的各个部门，正如华罗庚教授所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

今天，我们就以数学为工具一起来研究一个与人们生活密切相关的分期付款问题这是一个新教材首次出现的研究性课题，现在我先来简要介绍一下研究性课题2、介绍研究性课题研究性课题是新教材中的一个专题性栏目这一个专题具有探索性和应用性的特点，它要求同学们从数学角度，对日常生活、生产和其它学科的问题及某些数学问题进行深入探讨，它既是所学内容的实际应用，又对同学们探究和解决问题具有较好的训练价值，是培养同学们综合实践能力和创新精神的极好教材研究性课题与我们是初次接触，初次见面，还请同学们多多关照！3、关于分期付款今天所学的“研究性课程”，是一个有关分期付款的问题.分期付款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，为越来越多的顾客所接受，这一方面是因为很多人一次性支付售价较高商品的款额有一定的困难，另一方面是因为不少商店也在不断改进营销策略，方便顾客购物和付款，由于分期付款与每个家庭、每个人的日常生活密切相关，对本课题的探究肯定会引起同学们的兴趣二．提出问题、自主探索我们来看这方面的一个问题：例1.购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少? 分析：本题可通过逐月计算欠款来处理，根据题意，第5个月的欠款数为零，据此可得等量关系。

解：设每月应付款x元，购买1个月后的欠款数为 5000·1.008-x购买2个月后的欠款数为 (5000·1.008-x)·1.008-x即 5000·1.0082-1.008x-x购买3个月后的欠款数为 (5000·1.0082-1.008x-x)·1.008-x 即：5000·1.0083-1.0082x-1.008x –x ……购买5个月后的欠款数为: 5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x由题意 5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x=0即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085观察一下，上述等式有什么特点？可以发现，上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边是一个首项为x，公比为1.008的等比数列的前5项的和于是 ， 即这就是说，每月应付款1024.1元 说明:这里先写出开始3个月的欠款数,就能找到某些规律,从而就能写出第5个月的欠款数。

思考：还有其它解法吗？在同学们普遍感到困难的情况下，教师引导学生对上面的等式作一些深入的研究：5000元商品在购买5个月后（即货款全部付清时）连同利息之和第5次付款（即最后一次付款）x元由于款已全部付清，因此这一期付款没有利息）第4次付款x元后到款全部付清时连同利息之和第3次付款x元后到款全部付清时连同利息之和第2次付款x元后到款全部付清时连同利息之和第1次付款x元后到款全部付清时连同利息之和各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最后一次付款时所生的利息之和商品的售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085\这个等式说明了：分期付款，各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品的售价及从购买到最后一次付款时的利息之和实际上这是分期付款中的规定，从上面的过程中我们可看出这种规定是合理可行的于是我们有了解法2，利用分期付款的有关规定直接列出方程 解法2：设每月应付款x元，那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后）付款金额的本利和为：（x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x）元；另外，5000元商品在购买后5个月后的本利和为5000·1.0085元。

根据题意，得x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085（以下同解法1）说明：解法1通过逐月计算欠款来处理，由第5个月后的欠款为零可得等量关系，这种解法思路自然，容易想到，但过程较长解法2从最后一次付款（即款全部付清时）的角度上来看问题，即按分期付款中的规定直接列出等式，过程较简洁思考：能否从贷款初（即购买商品时）的角度来研究？若从贷款时（即购买商品时）的角度来看：第1个月偿还的x元，贷款时值第2个月偿还的x元，贷款时值 ……第5个月偿还的x元，贷款时值贷款5000元购买商品时值5000元由此可列出方程：上面的两种思考方法,一种是将各期付款都折合成结清时的值来考虑问题,另一种是将各期付款都折合成刚贷款时的值来考虑问题很明显在按复利计息的情况下，由刚贷款时和最后全部付清时两种不同角度得到的两个方程是等价的，两种思考方法，殊途同归相比较方程而言，还是从最后全部付清的角度来看更简单些我们将例1作适当的变式，就得到下面的例2例2.顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。

方案类别分几次付清付款方法每期所付款额付款总额与一次性付款差额 1 3次购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款 2 6次购买2个月第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款3 12次购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后12个月第12次付款注规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算 顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较对于例2，同学们很容易想到与例1作一些对比，这时教师应不失时机地进行启发提问：①如采用方案3，例2与例1的相同点是什么？不同点是什么？为什么不同？②如采用方案2，例2与例1的相同点是什么？不同点是什么？为什么不同？③如采用方案1，例2与例1的相同点是什么？不同点是什么？为什么不同？④可利用什么数学知识、方法来解决问题？⑤你能解决上述问题吗？（在独立思考的基础上，再采用小组讨论、全班交流等形式）（方案1）解：设每期所付款额x元，那么到最后1次付款时付款金额的本利和为：x (1+1.0084+1.0088 ) 元另外，5000元商品在购买后12个月后的本利和为5000·1.00812元。

由题意得x·(1+1.0084+1.0088)＝5000·1.00812 即 每期所付款额为1775.8元，付款总额约为5327元，与一次性付款差额为327元方案2）略解：由题意得:x·(1+1.0082+1.0084+…+1.00810 )＝5000·1.00812每期所付款额为880.8元，付款总额约为5285元，与一次性付款差额为285元（方案3）略解：由题意得x·(1+1.008+1.0082+…+1.00811 )＝5000·1.00812每期所付款额为438.6元，付款总额约为5263元，与一次性付款差额为263元有比较才有鉴别，根据表中的结果，顾客就可以对几种付款方式进行权衡了，然后从中选定一种付款方式三、小结深化、探索规律在同学们自主探索得出结论的情况下，我们现在对整个分期付款的应用问题进行一次回顾小结从数学的角度看，本课题是等比数列前n项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用问题的关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定：在分期付款中，每月的利息均按复利计算；分期付款中规定每期所付款额相同；分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；`各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据）。

同学们要善于将数学知识应用到实际当中，同时也会将现实中的问题抽象成数学问题进行求解在上述问题的基础上，你能进一步深化原问题吗？对于上面3个方案中的x的表示式，你能发现其中有什么共同特点吗？能够从中概括出一个一般的公式吗？一般地，购买一件售价为a元的商品，采用上述分期付款时要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款数的计算公式是什么？请同学们自已推导得出这个公式后，再将它应用于上述3个方案中的有关计算验证一下结果是否一致请同学们再看下面一个问题某林场去年底森林木材存量为a，从今年起以每年25%的增长率生长，同时每年冬天要砍伐一定量的木材，为了实现经过20年达到森林木材存量翻两番（是最初的四倍）的目标，求每年砍伐量x取lg2=0.3）如果是严格的分期付款类型的问题，上述条件应是“经过20年达到森林木材的存量为零存量为零？！既不符合实际情况，更是不可思议我们应该考虑到生态平衡、环境保护及可持续发展等因素，因此，上题的“存量翻两番的目标”较妥本问题就是刚才的分期付款问题的进一步深化发展，至于如何解此问题留给同学们课外思考最后，作为作业，请提出一个你熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决。

同学们可通过调查、走访的形式,例如去房地产公司了解按揭购房等在这过程中，同学们要学会合作，学会交流参考文献全日制普通高级中学教科书《数学》第一册（上）.人民教育出版社.徐稼红 .“。