2.6.2二次方程根的分布问题.docx

第章 函数的应用2. 二次方程根的分布问题高中要求1掌握二次函数、一元二次方程的关系；2 掌握二次函数零点的分布问题.1 概念二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数y=ax2+bx+c零点)的分布问题.2 常见题型① 两根与k的大小比较(以a>0为例)分布情况两根都小于k，即x1k , x2>k一根小于k，一根大于k，即x10-b2a0∆>0-b2a>kfk>0fk<0 ② 两根分别在区间(m , n)外a>0a<0大致图像得出的结论fm<0fn<0fm>0fn>0③ 根在区间上的分布(以a>0为例)分布情况两根都在(m , n)内两根有且仅有一根在(m , n)内一根(m , n)内，另一根在(p , q)内大致图像得出的结论∆>0fm>0fn>0m<-b2a0fn<0fp<0fq>0 or fmfn<0 fpfq<0 【题型1】 两根与k的大小比较 【典题1】已知二次方程2m+1x2-2mx+m-1=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围解析 方法一：当2m+1>0时，若要满足题意，必须f0<0；当2m+1<0时，若要满足题意，必须f0>0； 即2m+1f0<0⇔2m+1(m-1)<0，解得-12

方法二：(韦达定理)设x1,x2是2m+1x2-2mx+m-1=0的两个根，若要满足题意等价于∆=4m2-42m+1m-1>0x1x2=m-12m+1<0，解得-121或a<-12 B．-12-12 D．a<1答案 A解析 ∵方程x2-2x-lg⁡2a2-a=0有一个正根和一个负根，∴两根之积-lg⁡2a2-a<0，故lg⁡2a2-a>0，∴2a2-a>1，求得a>1或a<-12，故选：A．2.已知关于x的方程x2+kx+k2+k-4=0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为　 　．答案 (-3,0)解析 令fx=x2+kx+k2+k－4，由题意可得f(2)<0，即：22+2k+k2+k-4<0，整理：k2+3k<0，解得：-30)的两个互异的实根都小于1，则实数m的取值范围是　 　．答案 (3+74,+∞)解析 ∵关于x的二次方程mx2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)的两个互异的实根都小于1，则 m>0△=(2m-1)2-4m(-m+2)>01-2mm<1f(1)=m+2m-1-m+2>0，即m>0m<3-74,或m>3+74m>14m>-12 求得m>3+74，即m的范围为(3+74,+∞).【题型2】 根在区间上的分布 【典题1】 已知方程x2-2a+1x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1),(1,3)之内，则实数a的取值范围为　 　．解析 方法1 方程x2-2a+1x+a(a+1)=0对应的函数为f(x)=x2-2a+1x+a(a+1)若要满足题意，则f0>0f1<0f3>0⇒aa+1>0-2a+aa+1<09-32a+1+aa+1>0⇒a>0或a<-103或a<2⇒053 C．-10f(1)<0f(3)>0，∴1>02-2a<010-6a>0，∴10，f(1)<0，即有－a+1>0，且2-a2-a<0，即为a<1a>1或a<-2，解得a<-2．故答案为：(-∞,-2)．4.若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，则实数m的取值范围为　 　．答案 (-4,-2)解析 设函数f(x)=7x2-(m+13)x-m-2，∵方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)，∴f(0)>0f(1)<0f(2)>0，∴f(0)=-m-2>0f(1)=-2m-8<0f(2)=-3m>0，即m<-2m>-4m<0，则-40，即图象开口向上，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)<0，且f(1)<0，即2<0且a+3<0，则a∈∅；若a<0，即图象开口向下，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)>0，且f(1)>0，即2>0且a+3>0，则－31，则实数a的取值范围是(　　)A．a<-1 B．a>1 C．-122或a<-22答案 C解析 由题意设f(x)=x2+ax-2，∵方程x2+ax-2=0有两个不相等的实根x1,x2，且x1<-1，x2>1，∴f(-1)<0f(1)<0，则1-a-2<01+a-2<0，解得-14，即实数a的取值范围是(4,+∞)，故选：A．2.关于x的方程x2+(m-3)x+7-m=0的两根都大于3，则m的取值范围是(　　)A．(-∞,1-25)∪(1+25,+∞) B．(-72,1-25]C．(-∞,-72)∪(1-25,+∞) D．(-∞,1-25]答案 B解析 ∵关于x的方程x2+(m－3)x+7-m=0的两根都大于3，∴△=(m-3)2-4(7-m)≥0-m-32>332+(m-3)×3+7-m>0，解得：-721 C．-10,f(1)<0,f(2)>0即1>0，2-2a<0，5-4a>0解得10，方程的两根满足x1x2=1a<0，此时有且仅有一个负根，满足题意，(3)当a>0时，由方程的根与系数关系可得-2a<01a>0∴方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件△=4－4a≥0，∴00f(1)<0,即 4+a>01+1+a+4+a<0,即 a>-4a<-3，∴-4

解析 设y=f(x)=x2+2(m-1) x+2m+6 ．(1)依题意有f(2)<0，即4+4(m-1)+2m+6<0 ，得m<-1 ．(2)依题意有 f0=2 m+6>0 f(1)=4 m+5<0 f4=10 m+14>0，解得-7502m-1-2>0，即m≤-1 或m≥ 5m>-3m<1. ∴-3