矩阵理论讲义第0章：线性代数复习及其它.pdf

Graduate Engineering Mathematics 工科研究生数学工科研究生数学 --矩阵论矩阵论 第第 2 章章 矩阵的标准形矩阵的标准形 王新赠王新赠 山东科技大学信息学院山东科技大学信息学院 wangelxz@ G G E ME M 2.1 一元多项式一元多项式 定义定义. .设设 n 是一个非负整数，表达式是一个非负整数，表达式 011 1axaxaxan nn n       2 上的一元多项式，上的一元多项式，称为数域称为数域FFaaan ,10，，，，其中其中.0称为零多项式称为零多项式特别地，特别地，})(| )({][上的一元多项式上的一元多项式是数域是数域FxfxfxF G G E ME M 1 110( )nn nnf xa xaxa xa   3 则称则称 f(x)与与 g(x)相等相等，记作，记作 f(x)= g(x) 为首项系数，为首项系数，的首项，的首项，为为则称则称若若nn nnaxfxaa)(, 0 1 110( )mm mmg xb xbxb xb   若其同次项的系数都相等，即若其同次项的系数都相等，即 ,0iiab i. 0).()(deg)(零多项式次数定义为或记作的次数，称为xfxfxfn定义定义. . ][)(, )(xFxgxf 设设G G E ME M 4 多项式加法多项式加法 为了方便起见，设为了方便起见，设 0,1     mnbbmn1 111100()()()()nn nnnnab xabxab xab  ( )( )f xg x 0()n i ii iab x  deg( ( )( ))max{deg( ),deg ( )}f xg xf xg xG G E ME M 5 运算规律运算规律: )()()()() 1 (xfxgxgxf   交换律：交换律：0))(()(:)4(   xfxf负元素负元素(3)( )0( )f xf x零零元元素素：：))()(()()())()(( :)2(xhxgxfxhxgxf     结合律结合律G G E ME M 6 数乘多项式数乘多项式 1 110( )nn nnkf xka xkaxka xka   0n i i ika x   运算规律运算规律: ))(()()() 1 (xfxf   结合律：结合律：)()(1:) 4(xfxf单位元？？(3)( ( )( ))( )( )分配律： f xg xf xg x)()()()( :)2(xfxfxf       分配律分配律G G E ME M 7 ( ) ( )f x g x多项式乘法多项式乘法 1 11100100()()n mn m nmnmnma b xa babxa ba b xa b 其中其中k 次项的系数是次项的系数是 011110kkkkij ij ka baba ba ba b    m n k ij k oij ka bx       deg( ( ) ( ))deg( )deg ( )f x g xf xg xG G E ME M 8 运算规律运算规律: )()()()() 1 (xfxgxgxf 交换律：交换律：)()(1:)5(xfxf 单位元单位元(4)( ) ( )( ) ( ), ( )0f x h xg x h xh x消消去去律律：： 若若))()()(()())()(( :)2(xhxgxfxhxgxf 结合律结合律)()()()())()()((:)3(xhxfxgxfxhxgxf   分配律分配律)()(xgxf 则则G G E ME M )()()()(xrxgxqxf  9 0)()(deg)(deg  xrxgxr或或其中其中定理定理2.1.1（带余除法）（带余除法）设设 f(x)和和 g(x)是数域是数域 F 上的多项式，上的多项式， 并且并且q(x)和和 r(x)是唯一的，是唯一的， 带余除法带余除法 且且 g(x) ≠0，则必存在多项式，则必存在多项式 q(x)和和 r(x) ，使得，使得 若若r(x)=0，则称，则称 g(x)是是 f(x)的因式，的因式， f(x)是是 g(x)的倍式，的倍式， 也称也称 g(x)能整除能整除 f(x)，并记作，并记作 g(x)| | f(x)。

G G E ME M 10 例例2.1.1设设 f(x)和和 g(x) 是有理数域是有理数域 F上的两个多项式上的两个多项式 432( )42659,f xxxxx2( )254g xxx求满足等式求满足等式 的多项式的多项式 ( ), ( )q xr x)()()()(xrxgxqxf  G G E ME M 11 2( )243q xxx( )33r xx2432254 42659xxxxxx22x2348104xxx  9514823   xxxx4 xxx1620823   91162  xx3 )()()()(xrxgxqxf  121562  xx 34  xG G E ME M 12 2.2 因式分解定理因式分解定理 若若h(x)既是既是 f(x)的因式，又是的因式，又是 g(x)的因式，的因式， 则称则称h(x)为为 f(x)与与 g (x)的一个公因式。

的一个公因式 定义定义. . ][)()(, )(xFxhxgxf ，，设设若若h(x)既是既是 f(x)的倍式，又是的倍式，又是 g(x)的倍式，的倍式， 则称则称h(x)为为 f(x)与与 g (x)的一个公倍式的一个公倍式 G G E ME M 的公因式；的公因式；与与是是)()()()1(xgxfxd的因式；的因式；的公因式都是的公因式都是与与)()()()2(xdxgxf则称则称 d(x)为为 f(x)和和 g(x) 的一个最大公因式的一个最大公因式 的公倍式；的公倍式；与与是是)()()()1(xgxfxd的倍式；的倍式；的公倍式都是的公倍式都是与与)()()()(xdxgxf2则称则称 d(x)为为 f(x)和和 g(x) 的一个最小公倍式的一个最小公倍式 ，，并且满足并且满足: : ][)(),(, )(xFxdxgxf 设设，，并且满足并且满足: : ][)(),(, )(xFxdxgxf 设设G G E ME M 14 使得使得d(x)是是 f(x)和和 g(x)的一个最大公因式，的一个最大公因式， 定理定理2.2.12.2.1 ],[)(],[)(, )(xFxdxFxgxf  则存在则存在设设),()()()()(xgxvxfxuxd  并且并且].[)(),(xFxvxu 其中其中G G E ME M 15 不可约多项式不可约多项式 定义定义. . 设设 ，若，若 在数域在数域F上只有平凡因式，上只有平凡因式， ][)(xFxp )(xp则称则称 为域为域 F上的不可约多项式，上的不可约多项式， )(xp否则，称否则，称 为域为域F上的可约多项式。

上的可约多项式 )(xp注意：注意：(1) 一次多项式总是不可约多项式；一次多项式总是不可约多项式； (2) 多项式的不可约性与其所在系数域密切相关多项式的不可约性与其所在系数域密切相关 例如，例如， 22(2 )(2 )xxixiG G E ME M 16 因式分解唯一性定理因式分解唯一性定理 定理定理. 数域数域F上任一个次数不小于上任一个次数不小于1的多项式的多项式 f(x)都可以都可以 唯一地分解成数域唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积上有限个不可约多项式的乘积 其唯一性是指，若有两个分解式其唯一性是指，若有两个分解式 12( )( )( )( )sf xp x pxp x 12( )( )( )tq x qxq x 则则 s = t , 并且经过对因式的适当排序后有并且经过对因式的适当排序后有 ( )( ),1, 2,,iiip xc q xis其中其中 为非零常数为非零常数 ,1, 2,,icis G G E ME M 17 称为标准分解式称为标准分解式 12 12( )( )( )( )srrr sf xapx pxpx 分解式分解式 其中其中a 是是 f(x)的首项系数，的首项系数， 是首项系数为１的是首项系数为１的 ( )ip x不可约多项式，而不可约多项式，而 是正整数是正整数 ir(1, 2,, )is G G E ME M 18 复系数多项式的因式分解定理：复系数多项式的因式分解定理： 因式分解定理因式分解定理 次数不小于次数不小于1的复系数多项式在复数域上的复系数多项式在复数域上 可唯一地分解成一次因式的乘积。

可唯一地分解成一次因式的乘积 标准分解式为标准分解式为 12 12( )() ()()snnn nkf xaxrxrxr复系数多项式复系数多项式 1 10( )nn nnf xa xaxa   的的 其中其中 是正整数，且是正整数，且 in12snnnnG G E ME M 19 实系数多项式的因式分解定理：实系数多项式的因式分解定理： 次数不小于次数不小于1的实系数多项式在实数域上的实系数多项式在实数域上 可唯一地分解成一次因式可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式和二次不可约因式的乘积 标准分解式为标准分解式为 1122 111( )()() ()()stnmnm nsttf xaxrxrxp xqxp xq实系数多项式实系数多项式 1 10( )nn nnf xa xaxa   的的 其中其中 和和 是正整数，且是正整数，且 in1122stnnmmnimG G E ME M 的标准分解式的标准分解式 例例 求求 8481224)(234567        xxxxxxxxf在实数域上在实数域上的标准分解式的标准分解式: 在复数域上在复数域上的标准分解式的标准分解式: 222)22()1)(2()(     xxxxxf222)1()1()1)(2()(ixixxxxf       G G E ME M 21 2.3 矩阵化简矩阵化简 文件在计算机中存储方式：文件在计算机中存储方式：二进制代码二进制代码 特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等）特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等） 黑白：黑白：0-1矩阵，如分辨率为矩阵，如分辨率为1024*980的一张黑白的一张黑白 照片。