高中数学第一章解三角形1.2应用举例一课件新人教B版必修5.ppt

第一章——解三角形1.2　应用举例(一)[学习目标]1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神.1 预习导学￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿挑战自我，点点落实2 课堂讲义￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿重点难点，个个击破3 当堂检测￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿当堂训练，体验成功[知识链接]“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘.[预习导引]1.仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时叫 ，如图.俯角仰角2.方位角和方向角从 方向 转到目标方向线的水平角叫 ，方位角的范围是[0,2π].从 方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫 ，如北偏东30°，南偏东45°.3.坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫 ，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫 .坡度正北顺时针方位角指定方向角坡角要点一　测量底部不能到达的建筑物的高度例1　如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.解　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠CAD＝β ，∠BAC＝α－β.规律方法　利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.跟踪演练1　某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为_____ m(精确到1 m，sin 35°≈0.574).解析　 过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°， 于 是 ∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，AB＝ ＝1 000 (m).在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈812(m).812要点二　测量仰角求高度问题例2　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，即山的高度为800( ＋1) m.规律方法　在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.跟踪演练2　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解　在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ ＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝ ·s.要点三　测量两个不能到达点之间的距离问题例3　如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离.解　在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形.∴AC＝CD＝ (km).在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°所以河对岸A、B两点间距离为 km.规律方法　测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决.跟踪演练3　要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100 米的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离.解　如图在△ACD中，∠CAD＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC＝CD＝100 (米).在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(100 )2＋(200sin 75°)2－2×100 ×200sin 75°cos 75°＝1002×5，∴AB＝100 (米).答　河对岸A、B两点间的距离为100 米.1.如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是 (　　)A.a，c，α B.b，c，α C.c，a，β D.b，α，γ解析　由α、γ可求出β，由α、β、b，可利用正弦定理求出BC.故选D.D1 2 3 4 52.如图，某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 千米，那么x的值是____.解析　由余弦定理：x2＋9－3x＝13，整理得：x2－3x－4＝0，解得x＝4.1 2 3 4 543.甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m，________m. 解析　甲楼的高为20tan60°＝20× ＝20 (m)；乙楼的高为：20 －20tan30°＝20 －20× ＝ (m).1 2 3 4 54.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为______m.1 2 3 4 5解析　由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得5.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____m.解析　设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AB2＝(30 )2＋302－2×30 ×30×cos 30°＝900，∴AB＝30(m).301 2 3 4 5课堂小结1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离” 要综合运用正弦定理和余弦定理. 无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离.2.正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.。