好文档就是一把金锄头!
欢迎来到金锄头文库![会员中心]
电子文档交易市场
安卓APP | ios版本
电子文档交易市场
安卓APP | ios版本

第五章_置换群与酉群.doc

34页
  • 卖家[上传人]:pu****.1
  • 文档编号:537330816
  • 上传时间:2023-01-30
  • 文档格式:DOC
  • 文档大小:1.45MB
  • / 34 举报 版权申诉 马上下载
  • 文本预览
  • 下载提示
  • 常见问题
    • 第五章 置换群与酉群§5.1 n阶置换群Sn【定义5.1】 (置换)将n个数字{1,2,…,n}的排列映为排列,称为一个n阶的置换,记为s, 置换s把a1换为b1,a2换为b2,…,an换为bn,它决定于诸双数码的对换,与诸对数码的排列顺序无关定义5.2】 (置换群)定义两个置换r,s的乘积rs为先实行置换s,再实行置换r,则在此乘法下所有n阶置换作成的集合,构成一个群,称为n阶置换群或对称群,记为Sn单位元:恒等置换逆元:,,置换的乘法满足封闭性和结合律,Sn群的阶为n!定义5.3】 (轮换)一种特殊形式的置换:称为轮换,记为,轮换数码的个数m称为轮换的阶•系1 轮换内的数码作轮换,仍表示同一个轮换,即:•系2 两个轮换和若没有公共数码,则称它们相互独立;相互独立的轮换之间的乘积满足交换律,即: •系3 任意的n阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积例如:(1 4 5)(2)(3 6)=(1 4 5)(3 6)=(1)(2)…(n)一阶的轮换将自身映为自身,可略去不记,故S0=(1)=(2)=…=(n)•系4 轮换的逆:(e1 e2 … em)-1=(em em-1 … e2 e1)•系5 2阶轮换(e1 e2)称为对换,任一m阶轮换可以写为(m-1)个对换的乘积。

      如: 一般地有:由于诸对换因素有相同数码e1,故它们的乘积不可交换•系6 任意对换(a a+k)满足递推关系:(a a+k)=(a+1 a+k) (a a+1) (a+1 a+k)证明:右边 = 左边•系7 由系3、系5、系6可知,任意置换可以写为相临数码对换的积例如=(1 4)(1 3)=(2 4)(1 2)(2 4)(2 3)(1 2)(2 3)=(3 4)(2 3)(3 4)(1 2)(3 4)(2 3)(3 4)(2 3)(1 2)(2 3)一般地:(a a+k)=(a+1 a+k)(a a+1)(a+1 a+k)=(a+2 a+k)(a+1 a+2)(a+2 a+k)(a a+1)×(a+2 a+k)(a+1 a+2)(a+2 a+k)◆定理5.1◆ 具有相同轮换结构的置换构成Sn群的一个类证明:两个置换具有相同轮换结构是指它们包含相个数的轮换因子,并且各轮换因子中数码个数也分别相同① 共轭置换具有相同轮换结构:,, , 有: s的共轭元由t对s中上下两行数码同时作t置换得到当s为无公共数码轮换的积的形式时,的轮换形式由t对s的每个轮换因子中的数码作置换得到。

      假设置换s有k个独立轮换因子si, i=1,2,…k构成,s=s1s2…sk , 则共轭tst-1= ts1t-1ts2t-1…tskt-1考察t对一个轮换因子si的共轭运算,假设:,,在t的变换下,si的第一行假设被变换为(t1 t2 … tm-1 tm),则其第二行必变换为(t2 t3 … tm t1),于是,,仍然是同阶的轮换,它由t对si的中的数码做置换得到故tst-1通过t对s中的轮换数码做置换得到,两者具有相同的轮换结构如:,,有:② 具有相同轮换结构的置换相互共轭:若s,具有相同轮换结构:,,则存在,有r = tst-1由①,②知具有相同轮换结构的置换构成Sn群的一个类•系1 Sn群的一个类可用轮换结构(v)来表示,即该类由独立的v1个1阶轮换,v2个2阶轮换,…,vn个n阶轮换v1,v2,…,vn为非负的整数,满足:•系2 Sn群中的类(v)的元素个数为:,这是因为:① l阶的一个轮换有l种写法:,vl个l阶轮换共有种写法;② vl个l阶轮换有vl!种不同的排列•系3 Sn群的类常用来描述,其中:,…,显然:,且称为n的一个分割,Sn群中共轭类的数目等于n的分割个数;两个分割,,如果第一个非零差,则称大于,记为>。

      •系4 n的一个分割或Sn群的一个类经常用杨图来表示:杨图是n个小方格的排列,排列方式为第一行、第二行、…、第n行各由个小方格组成,杨图第一列的小方格上下对齐例5.1 S3群的类分割:[3],[2 1],[1 1 1]≡[13],杨图为:分别对应(13 20 30),(11 21 30),(10 20 31)S4群的类分割:[4],[3 1],[2 2],[2 1 1],[1 1 1 1],5个类对应的杨图:对应(14 20 30 40),(12 21 30 40),(10 22 30 40),(11 20 31 40),(10 20 30 41)一个杨图若可以由另一个杨图的行列互换得到,则称该二杨图相互共轭;若一个杨图行列互换而杨图不变,则称它自轭§5.2 杨盘及其引理【定义5.4】 (杨盘)将数字1,2,…,n分别填到Sn群杨图的n个小方格中,这样的杨图称为杨盘S6的杨图[3 2 1]的两个杨盘Ta和Tb:·系1 由一个杨图可以得到n!个杨盘·系2 杨盘中的数字可用其所在的行和列即(i,j)确定·系3 同一杨图的不同杨盘Ta和Tb,可通过一置换相互转换将杨盘Ta和Tb中的n个数码从左到右、从上到下排成有序列:,则将杨盘Ta变为杨盘Tb的置换。

      如S6的杨图[3 2 1]的两个杨盘Ta和Tb有:·系4 由一个杨盘T可以定义行置换R(T)和列置换C(T):R(T):保持各行中数字在所在行中的全部置换p的集合{p};C(T):保持各列中数字在所在列中的全部置换q的集合{q}R(T)和C(T)显然为Sn的子群,它们有唯一公共元素s0;若杨盘T对应杨图为,则R(T)的阶显然为;C(T)的阶为杨图为杨图的共轭·系5 由行,列置换p,q可以定义算符P(T)和Q(T):,, P(T)和Q(T)显然为Sn的群代数中的元素置换的奇偶性:奇(偶)置换:能分解为奇(偶)数个对换乘积的置换阶为l的轮换的奇偶性与l-1的奇偶性相同·系6 同一杨图的不同杨盘,其同构,同构例5.2 S6的杨盘Ta对应的行置换R(T)和列置换C(T): ((1)为恒等置换s0)定义5.5】 (杨算符)杨盘T的算符P(T)、Q(T)的乘积,定义为杨盘T的杨算符E(T):显然·系1 若,且,则必有证明:由,得而故必有,,即·系2 由系1知杨算符E(T)为不同群元的线性组合,必有下面介绍几个关于杨盘的引理,并证明上述定义的杨算符正是Sn的群代数的本质本原幂等元。

      ※引理5.1※ 设是由置换r相联系的杨盘,;如果置换s作用在T上,使得T(i,j)数字变到sT中的处,则使得中的(i,j)数字也变到中的处证明:设分别为由杨盘的行数码从左至右、由上至下得到的n个数码的序列,由于,故有: ,由于等于r对s的上下行分别作置换,故必有:,比较置换r第二个等号的两边易知,若左边第i个数码ti在右边的位置为第j个数码,则左边与数码ti同列的数码在右边的位置也必然为j;故在对应的杨盘中发生变化的数码位置也相同,定理得证例5.3 ·系1 设,则,,证明: 选定任意,,p只引起T中同行数字置换,有只引起杨盘中同行数字置换,故当p取遍R(T)中元素时,可得实际上因为T,属同一杨图,R(T),同构,,为Sn的相互共轭子群类似地可以证明:故可得:,,以上结论给出了同一杨图的不同杨盘的杨算符之间的关系※引理5.2※ 设p和q分别是杨盘T的行列置换,则T中位于同一行的任意两数字不可能出现在的同一列中;反之,若,而T中位于同一行的任意两个数字不出现在的同一列,则杨盘T存在行列置换p,q,使得r = pq 证明:1.,令,q为杨盘T的列置换,故为杨盘列置换有,而列置换不能将中同一行的任意两数字变到的同一列,而,故的行数码与T的行数码相同(因为),故亦即T中同一行的任意两数码经p再经即pq作用后不能变到的同一列。

      2.反过来,,T中同一行任意两数码不出现在的同一列,亦即同列两数码处在T的不同行中,故总可以用行置换p对T作行置换使结果与的各列数码相同(上下次序可不同),进一步对作列置换,,可使得与完全相同,即另一方面,令,由 (因),故有引理5.2是同一杨盘的一个结论,对于不同杨图的杨盘有引理5.3※引理5.3※ 设杨盘T和分别属于杨图,则存在两个数字位于T的同一行和的同一列证明:设,,意味着 第一个不等于0的反证:设T中任两同行数码均在的不同列中,先看T,若其第一行的个数字的任两个均在不同列中,即个数字在的不同列中,则必须,而,故必有,且可对作列置换使结果和T的第一行数码相同(次序可能不同);由于列置换不会使原来中同列的数字变为不同列(即同行),故仍有T中两任意同行数码均在的不同列中,故对于和T的第二行与第一行情形同理,有,如此进行下去,最后可得到,与题设有矛盾定理得证引理5.3是不同杨图的杨盘间的一个重要性质※ 引理5.4※ 若有两个数字,位于杨盘T的同一行,又位于杨盘的同一列,则它们的杨算符满足:证明:设数字a1, a2位于杨盘T的同一行又位于的同一列,则有对换,为Sn的子群,又为群Sn单位元,且t为奇置换,,且由重排定理有:,则: 故有:。

      上式左乘,右乘Q(T),有:, 即·系1 由引理5.3和引理5.4知,当为属于不同杨图,设,则有※引理5.5※ 设Sn群代数中的矢量,,T为Sn的杨盘若有,则与T盘的杨算子E(T)相差一个常数因子,即, 常数与有关证明:① 首先可证Sn中不能写成pq形式的群元s可以表示为psq形式,即s = psq,,令,或由于s不具pq形式,由引理5.2的逆反命题可知,至少存在两个数码a1,a2即位于T的同一行又位于的同一列取,有;由于由引理5.1知,,取,故有:② 由满足的条件有:,可定出的系数:i.s具有pq形式时,取上式最后一等号左边的s为so,左边求和中有,等号右边的pq项为:,由pq项系数相等,有;令,有;选取不同p、q可以得到所有具有pq形式的s群元的系数ii.当s不具pq形式时,可由上述①的结论选取取,利用psq = s由上式可得:,即,而此时(因),故,有综上两种情形,的系数故:即,定理得证※引理5.6※ 杨盘T的杨算符E(T)是群代数Rsn的一个本质的本原幂等元,不变子空间RsnE是Sn群的一个不可约的表示空间,其维数为n!的因子证明:① ,有:,由引理5.5有:, 故若,则有E为本质幂等元。

      ② 可定出的取值情况:对于给定杨盘T,由于E(T)为幂等元,则存在与之对应的投影算符P,有,下边证明由算符P的迹可定出:i.取Sn群元素s1, s2, s3, …, sn为RSn的基底, 在此基下,变换P的对角元Pjj为: (令) = (令) = (E(T)在s0上的分量为1)故迹:.ii.若取Rsn的基为:,其中为子空间RsnE的基(易验证RsnE为线性空间,因,f最小等于1)在此基下变换P的对角元Pjj:A. j = 1,2,…,f时: 。

      点击阅读更多内容
      关于金锄头网 - 版权申诉 - 免责声明 - 诚邀英才 - 联系我们
      手机版 | 川公网安备 51140202000112号 | 经营许可证(蜀ICP备13022795号)
      ©2008-2016 by Sichuan Goldhoe Inc. All Rights Reserved.