线性代数§1.4对换.ppt

一、对换的定义§1.4 对 换定义: 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余元素 不动, 这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调, 叫做相邻对换.a1 a2 ··· al a b b1 ··· bm a1 a2 ··· al b a b1 ··· bma1 a2 ··· al a b1 ··· bm b c1 ··· cn a1 a2 ··· al b b1 ··· bm a c1 ··· cn二、对换与排列奇偶性的关系定理1: 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改 变奇偶性.例如对换 a与b即除 a, b 外, 其它元素的逆序数不改变.证明: 先考虑相邻对换的情形.a1 a2 ··· al a b b1 ··· bma1 a2 ··· al b a b1 ··· bm例如因此, 相邻对换排列改变奇偶性.当 ab 时, 对换后 a 的逆序数不变, b 的逆序数增加1;a1a2···alab1···bmbc1···cna1a2···albb1···bmac1···cn对一般对换的情形, 例如对换 a与b经过m次相邻对换, 排列a1a2···alab1···bmbc1···cn对 换为a1a2···alabb1···bmc1···cn,再经过m+1次相邻对换, 对 换为a1a2···albb1···bmac1···cn, 共经过了2m+1次相邻对换.所以, 由相邻对换的结果知: 一个排列中的任意两 个元素对换, 排列改变奇偶性.推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶 排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明: 由定理1知, 对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0), 论成立.因此, 推下面讨论行列式的另一种定义形式. 对于行列式的任一项其中12···i···j···n为自然排, 其列逆序数0, t 为列下标排 列p1p2···pi···pj···pn的逆序数, 对换元素一般地, 经过若干次对换行列式的任一项乘积元 素的位置后得到的符号仍为(–1)t.此时, 行标排列12···j··i···n的逆序为奇数, 而列标 排列p1p2···pj···pi···pn的逆序也改变了一次奇偶性. 换后行标排列逆序与列标排列逆序之和的奇偶性不变, 即t(1···j··i···n)+t(p1···pj···pi···pn)与t(p1···pi···pj···pn)具 有相同的奇偶性.因此, 对因此, 总可以经过 若干次对换行列式的任一项, 得故其中 s 为行下标排列 q1q2 ··· qn 的逆序数.定理2: n 阶行列式也可定义为其中s为行标排列q1q2···qn的逆序数, 并按行标排列求和.定理3: n 阶行列式也可定义为其中 t 为行标排列 p1p2···pn与列标排列 q1q2···qn的逆 序数之和. 并按行标排列(或列标排列)求和.因此, 我们可以得到行列式的另一种定义形式:根据以上讨论, 还可以如下定义例1: 试判断 a14a23a31a42a56a65 和–a32a43a14a51a25a66 是否六阶行列式中的项.解: a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列, 列标排列 的逆序数为:解: 将a23a31a42a56a14a65的行下标按标准次序排列, 则其列下标排列的逆序数为: t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶数) 所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号.t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数)所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项.将–a32a43a14a51a25a66的行下标按标准次序排列, 则 其列下标排列的逆序数为: t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶数) 所以 –a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.例2: 在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号. (1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 .项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之 和为t (341562)+t (234165) 例3: 用行列式的定义计算解: 由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素, 所以 Dn =(–1)t a1 n-1 a2 n-2 ···an-1 1 an n=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶数) 所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号.Dn = (–1)t 1·2···(n–1)·n = (–1)t n!即 而t = t [(n–1)(n–2)···21 n]= 0+1+2+ ··· +(n–3)+(n–2)+0 = (n–1)(n–2)/2所以 三、小结 1. 对换排列中的任意两个元素, 排列改变奇偶性. 2. 行列式的三种定义方法:其中 r 为行标排列 p1p2···pn与列标排列 q1q2···qn的逆 序数之和. 并按行标排列(或列标排列)求和.思考题证明在全部 n 阶排列中(n2), 奇偶排列各占一半. 思考题解答证: 设在全部 n阶排列中有s个奇排列, t 个偶排列, 现来证 s = t .若将所有 s个奇排列的前两个数作对换, 则这 s 个 奇排列全变成偶排列, 故必有s = t . 若将所有 t 个偶排列的前两个数作对换, 则这 t 个 偶排列全变成奇排列, 如此产生的 s 个偶排列不会超过所有的 s 个奇排列, 所以 t  s .过所有的 t 个偶排列, 所以 s  t .如此产生的 t 个奇排列不会超。