高数-大一-下册期末考试复习试卷资料整理.docx

高等数学A2 试卷（ A 卷）适用专业： 全校本科一年级 （除财务管理专业和中德合作班） 题 号一二三四五六七八九十总分评 分阅卷人一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.1、过点且与平面平行的平面方程是（ ）A. B. C. D. 2、直线与平面的位置关系是（ ）A. 相交但不垂直 B. 直线在平面内 C. 平行 D. 垂直3、函数的极小值点为（ ） A. B. C. D. 4、级数 的收敛性是 ( )A .条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 不能确定5、二次积分的次序可以转化为（ ）A. B. C. D. 6、 设，是长方体的整个表面的外侧，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.1、函数的全微分 .2、函数在点处由点到点方向的方向导数为 .3、设，而，，则 .4、微分方程的通解是 .5、周期为的函数在的表达式为，它的傅里叶（Fourier）展开式中系数= .6、对弧长的曲线积分 ，其中是圆周， .三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）.1、已知微分方程，（1）求出的通解；（2）求出满足，的特解.2、设，求3、求曲线在点处的切线方程和法平面方程.4、计算三重积分，其中是由三条坐标平面及平面 所围成的区域.5、利用格林公式，计算曲线积分，其中为上半圆周，沿逆时针方向.6、已知幂级数，（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求导、后积分）.四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体.（利用拉格朗日乘数法求解）2、计算抛物面和锥面所围成立体的体积.2015～ 2016学年第 二 学期 高等数学A2 试卷（ A 卷）参考答案及评分标准一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4. 5. 或 6. 三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）1、计算微分方程满足初值条件，的特解。

解：由题可得特征方程为：，可得: . ----------------3分该方程的通解为：由初值条件：，得：，. -----------------6分故该方程的特解为： -----------------8分2、设，求解：由 -------------2分 可得：， --------------5分 则有：， 故： ------------------8分3、求曲线在点处的切线方程和法平面方程解：由题可知：，曲线在点处的切向量为： -------------------4分则该点处的切线方程为： ---------------------6分该点处的法平面方程为：或 --------------------8分4、计算三重积分，其中是由三条坐标平面及平面 所围成的闭区域解：积分区域为时， -----------------2分 ------------------8分5、利用格林公式，计算曲线积分，其中为上半圆，沿逆时针方向。

解：设为和OA所围成的半圆形闭区域，则由格林公式， --------6分故 ----------------8分6、求幂级数的和函数解：根据比值审敛法 ，当时，即时级数收敛，当时，即时级数发散，故其收敛半径当时，级数发散，当时，级数发散，故该级数的收敛域为，假设幂级数的和函数为，则 -----------------4分上式两端分别从至积分，并注意到在处收敛于，故得又原级数在处均发散，故它的和函数 ----------8分四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体解:设球面方程为，是它内接长方体在第一卦限内的一个顶点，则此长方体的长、宽、高分别为：，，，体积为 令 -----------------3分 由 即 ---------------------------4分解得 代入，得，故为唯一的极值点，由于内接于球且有最大体积的长方体必定存在，所以当长方体的长、宽、高都为时，其体积最大。

----------------------8分2、利用三重积分计算曲面和曲面所围成立体的体积解：由和消去，解得，即在面上的投影区域为. 于是 -----------------3分因此 --------------------8分 2015～ 2016学年第 二 学期 高等数学A2 试卷（ B 卷）适用专业： 全校本科一年级 （除财务管理专业和中德合作班） 题 号一二三四五六七八九十总分评 分阅卷人一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1、直线化为对称式（点向式）方程是（ ）.A. B. C. D. 2、已知两点和，与同方向的单位向量是（ ）.A. B. C. D. 3、点是函数的（ ）. A.极大值点 B.极小值点 C.不是极值点 D.无法判断4、若级数在时收敛，则在时该级数 ( ) .A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 不能确定5、把积分化为极坐标形式是（ ）.A. B. C. D. 6、设，是球面的外侧，利用高斯定理计算（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）7、函数的全微分 .8、函数在点处方向导数达到最大的方向是 .9、设，则 .10、微分方程的通解是 .11、对弧长的曲线积分 ，其中是半圆和轴所围成的区域的边界.12、设是周期为的函数在上的表达式，的傅里叶级数在点处收敛于 .三、计算题（本题共7小题，每小题8分，共56分）13、计算（1） 求出的通解；（2）求出的一个特解；（3）求出的通解.14、设，，，其中有连续的偏导数，计算15、求出曲面在点的切平面方程和法线方程.16、考察三重积分， （1）设是三个坐标面及平面所围成的闭区域，将三重积分化为直角坐标系下的三次积分；（2）设是旋转抛物面和平面所围成的闭区域，将三重积分化为柱坐标系下的三次积分.17、求抛物面介于平面和之间那部分的曲面面积.18、利用格林公式，计算曲线积分，其中是，和所围成的区域的正向边界.19、求幂级数的和函数.（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求积分、后求导）.四、应用题（本题共1小题，每小题8分，共8分）20、横断面为圆形的圆柱形张口浴桶，其表面积等于平方米，当其当底面半径和高为多少时，此浴桶有最大容积.(利用拉格朗日乘数法求解)2015～ 2016学年第 二 学期 高等数学A2 试卷（ B 卷）参考答案及评分标准一、选择题（本题共6小题，每题3分，共18分）123456ADACBD二、填空题（本题共6小题，每空3分，共18分）7. 　 　8. 9. 10. 11. 　 12. 三、计算题13、计算（1）求出的通解；（2）求出的一个特解；（3）求出的通解。

解：（1）的特征方程为，有两不相等的实根 ， ，所以对应的齐次方程的通解为 -----3分（2）假定其特解形式是 求出，，代入原方程得解之得：，，故 -----6分（3）的通解为它对应的齐次方程与它的特解之和 -----8分14、设，，，其中有连续的偏导数，计算解 -----4分 。