教学教案设计 多元复合函数的求导法则.doc

§8. 4 多元复合函数的求导法则课 题：§8.4多元复合函数的求导法则教学目的：通过学习，使学生掌握多元复合函数的求导法则教学重点：多元复合函数的求导法则应用教学难点：抽象函数高阶偏导数的计算教学过程： 现在将一元复合函数的求导法则推广至多元复合函数的求导法则 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f[j(t), y(t)]在点t可导, 且有 . 简要证明1: 因为z=f(u, v)具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 .又因为u=j(t)及v=y(t)都可导, 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 从而 . 简要证明2: 当t取得增量Dt时, u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt®0, 上式两边取极限, 即得 . 注:. 推广: 设z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 则z=f[j(t), y(t), w(t)]对t 的导数为: . 上述称为全导数. 2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2 如果函数u=j(x, y), v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f [j(x, y), y(x, y)]在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 , . 推广: 设z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 则 , . 讨论: (1)设z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 则？？ 提示: , . (2)设z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 则？？ 提示: , . 这里与是不同的, 是把复合函数z=f[j(x, y), x, y]中的y看作不变而对x的偏导数, 是把f(u, x, y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数. 与也朋类似的区别. 3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形 定理3 如果函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f[j(x, y), y(y)]在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 , . 例1 设z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin v×y+eucos v×1 =ex y[y sin(x+y)+cos(x+y)], =eusin v×x+eucos v× =exy[x sin(x+y)+cos(x+y)]. 例2 设, 而. 求和. 解 . . 例3 设z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全导数. 解 =v×et+u×(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t =et(cos t-sin t)+cos t . 例4 设w=f(x+y+z, xyz), f具有二阶连续偏导数, 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 则w=f(u, v). 引入记号: , ; 同理有,,等. , . 全微分形式不变性: 设z=f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分 . 如果z=f(u, v)具有连续偏导数, 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有连续偏导数, 则 . 由此可见, 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性. 例5 设z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不变性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy [y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+ e xy [x sin(x+y)+cos(x+y)]dy . 。