振动力学4.1.ppt

第四章 连续系统的振动在单自由度、多自由度的振动系统被简化为有限个无弹性的质量块m和无质量的弹簧k、阻尼器c组成的离散系统（集中参数系统）但实际工程结构均是由具有分布质量以及分布弹簧和阻尼的物体所组成称之为连续系统（分布参数系统）连续系统具有无限多个自由度，其动力学方程为偏微分方程（离散系统对应常微分方程），并且只在少数简单情况下有解析解（精确解），对于复杂的连续系统则利用各种近似方法简化为离散系统求解（近似解）第一节 一维波动方程 一、动力学方程1.弹性直杆纵向振动设弹性直杆为 ，截面积A，材料密度 ，弹性模量E，忽略纵向振动引起的横向变形，并假定振动过程中，横截面仍保持平面（平面假定成立）以杆的纵轴为 轴，杆的坐标为 的任一截面的位移 为 的函数，纵向弹性力（轴向） 与应变微段 依据达朗贝尔原理得：称为一维波动方程为弹性纵波沿杆的纵向传播速度2. 弹性弦横向振动设弦两端固定且为张力F所拉紧，弦的长度单位质量为 ，因弦绷得很紧，F变化很小，视为常量（仅方向变化），以变形前弦的方向为轴，横向挠度为 ， 则微段 依据达朗贝尔原理得：小变形时 称为一维波动方程为弦沿横向传播速度。

3. 圆轴扭转振动设圆轴的极惯性矩 ，材料密度 ，横截面上扭矩为T，切变模量G，转动惯量J，以杆（圆轴）的纵轴为 轴， 为坐标的 截面处的角位移则微段 依据达朗贝尔原理得称为一维波动方程为圆轴传播速度定义：在振动过程中，杆的横截面始终保持平行的振动，当杆的长度接近截面尺寸时，杆的横向振动主要引起剪切变形剪切振动）例如：当一个多层框架的各层楼板刚度很大时，在风载或地震载荷作用下的水平振动，可近似为杆的剪切振动4. 杆的剪切振动设截面积A，切变模量G，截面形状系数 ，材料密度 ，以杆的纵轴为 轴，坐标为 的截面处的剪切变形 ,微段 依据达朗贝尔原理得称为一维波动方程为沿横截面平行传播速度材力注意： 以上四式除位移意义不同，常量值不同之外，本质形式完全相同为一维波动方程求解一维波动方程以下用杆的纵向振动为代表求解此问题的解代入方程“.”表示对时间t的导数； “、” 表示对坐标 的导数二、固有频率和模态函数（振型）由分离变量法，令为与时间、空间无关的常数 （方程左边与 无关，右边与t无关， 只能是常数）的合理性，否则解 将趋于无穷；它与单自由度线性振动方 程相同，其通解为(简谐振动。

）解 确定杆纵向振动的形态—模态其一般形式为连续系统的模态 为坐标的连续函数，即模态函数积分常数 及参数 应满足的频率方程由杆的边界条件确定由于是表示各坐标振幅相对比值，模态函数内可包含一个任意常数1. 两端固定2. 两端自由3.一端固定，另一端自由三种常见边界条件下的固有频率和（模态函数）振型：边界约束为 即化作 为杆纵向振动的频率方程，模态函数（振型）由于 时，固有频率 ，对应模态函数为零，因此 将零固有频率除去从而解1. 两端固定代入得令由频率方程确定的固有频率无穷多个线性组合得 或 式中由初始条件 时， 确定由自由端轴向力为零，即即 令（其中零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移）2.两端自由3.一端固定，另一端自由导出 令边界条件为：模态函数为例题1：一端固定，一端自由且有附加质量 的直杆如图，试求固有频率和模态函数解： 自由端处惯性力即由及导出这是超越方程，无解析式，只能求数值解从而频率方程为 （质量比）假设 解出各 后有模态函数响应…例题2： 一等直杆左端固定，右端附一重量为ω的重物，并和一弹簧相连，如图所示，已知杆长为L,单位长度的重量为 ,弹簧的刚度为 ，杆的弹性模量为E，求系统纵向自由振动的频率方程。

解: 设 坐标如图等截面直杆纵向振动偏微分方程为边界条件:代入 得注 代入 式式中：为杆的拉压刚度与端点弹簧刚度的比值为杆的重量与端点集中重量的比值讨论：（1） 右端只有弹簧k，频率方程 作图法得出（2）即自由端情形，频率方程 （3 ）即固定端情形，频率方程 （4） 频率方程 设由作图法求出频率方程的根频率方程变为分别做出和两图形得交点令即可得各阶固有频率由图中得……由（2）、（4）结果看出，由于杆端附有重量，从而增加了系统的质量，使得系统的固有频率降低由（2）、（3）结果看出，约束条件的改变直接影响系统的刚度，从而影响系统的固有频率，右端自由端变为固定端，系统刚度增加，使各阶固有频率相应增加补充：直杆纵向振动边界条件弹性支撑集中质量补充：圆盘扭转振动边界条件（1）固定（2）自由（3）弹性约束（4）惯性圆盘作业：P159 6.4。