重要不等式应用汇总9奥赛必备0.pdf

重要不等式应用汇总 数学竞赛常用1． 排序不等式：设,.21naaanbbb.21njjj,.,,21是n,.,2, 1的一个排列，则221121112121nnjnjjnnnbababababababababan 2． 均值不等式：当Rai（ni,2, 1）时，有：naaanaaaaaaaaannnn nn2222121 21211113． 柯西不等式：设),.2, 1(,niRbaii则.)())((211212 iniiniiniibaba等号成立当且仅当存在R，使得),.,2, 1(niabii. 从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设RbRaii,则. )()(11212niiniiniiibaba（2）设iiba ,同号，且, 0,iiba则. )()(1121niiiniiniiibaaba4． 琴生（Jensen）不等式：若)(xf是),(ba上的凸函数，则对任意),(,.,,21baxxxn)].(.)()([1).(2121 nnxfxfxfnnxxxf5．幂均值不等式：设)(0Rai则.).().(1211 21MnaaanaaaMnn6.切比雪夫不等式：设两个实数组naaa.21，nbbb.21则)(1).(1221111 1121nnniiniinnnbababa nnbnabababa n（该不等式的证明只用排序不等式及niiniiba11的表达式就可得证）7．一个基础不等式：yxyx)1 (1其中] 1 ,0[,0, yx,若yx,中有一个为零，则结论成立8．赫尔德（Holder）不等式：设).,.2, 1(0,nkbakk1,qp且111 qp，则qnkq kpnkp kknkkbaba11111)()(（等号成立当且仅当q kp ktba）*9.与对数函数有关的一个不等式：xxxx)1ln(1，.0x（该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）*10．三角函数有关的不等式：xxxtansin)2, 0(x*11．绝对值不等式: 设Caaaban,,,,21，则有： │ | a| -| b| │≤│a+b│≤│ a│+│ b│ ；│naaa21│≤naaa21*12．舒尔（Schur）不等式：设Rzyx,,，则0))(())(())((yzxzzzyxyyzxyxx*13. 闵可夫斯基（Minkowski）不等式：如果nxxx,,,21与nyyy,,,21都是非负实数1p，那么pnip ipnip ipp iniiyxyx111111)()())((14. 贝努利不等式（1）设2,,2, 1, 1nnixi且同号，则niiniixx111)1 (（2）设1x，则（ⅰ）当10时，有xx1)1(；（ⅱ）当1或0时，有xx1)1(，上两式当且仅当0x时等号成立。

不等式（ 1）的一个重要特例是)2,,0, 1(1)1(nNnxxnxxn15. 艾尔多斯—莫迪尔不等式设 P 为△ ABC 内部或边界上一点，P 到三边距离分别为PD，PE，PF，则)(2PFPEPDPCPBPA当且仅当△ ABC 为正三角形，且P 为三角形中心时上式取等号这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式16. 外森比克不等式：已知三角形的边长为a,b,c，其面积为S，求证Scba34222，当且仅当a=b=c时取等号其他不等式综合问题例 1： （第 26 届美国奥数题）设a、b、c∈ R+，求证： abcabcacabccbabcba1111333333推广 1：设 a、b、 c、d∈R+，求证： abcdabcdcba11 333推广 2：设 ai∈R+(i=1、2、3，⋯， n),求证：niinikiniin iaaa 11111例 2：设 x、 y、z∈R+，求证：.1222222222xyyxzzxxzyyzzyx推广 1：设 ai∈R+，(I=1,2,3, ⋯， n)求证：.1 1niikikkn kn iaaa推广 2：设 xyz∈R+，求证：23121111211112111nyyxyxxzxxzxzzyzzyzyyxnnnnnnnnnnnnnnn例 3：设 x、 y∈（ 0，1） ，求证： xyyx12111122。

（9）推广 1： xi∈（ 0，1）(i=1、2、3，⋯， n),求证：niinin ixnx11111推广 2： xi∈（ 0，1）,(i=1、 2、3，⋯， n),求证：. 11111112niiiniixxx推广 3： xi∈（ 1，+∞） ,(i=1、2、 3，⋯， n),求证：.11111112niiiniixxx（xn+1=x1）例 4．已知 a,b,c,m为正数．求证：abcambmcm bcabmcmam．例 5． 设正数 x,y,z,a,b,c满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数 f(x,y,z)= zzyyxx111222 的最小值 . 例 6．设 n 是给定的正整数，且n≥ 3,对于 n 个实数x1,x2,⋯,xn，记|xi-xj|(1≤i

例 8． （2007 年 CMO 试题 5）设有界数列)1}({nan满足3, 2 , 1,200721 120062 nnkaannkk n求证：,3 ,2,1,1nnan。