圆知识拓展(二).doc

圆知识拓展（二）圆知识拓展（二）例例 3 3 已知正五边形的对角线长为 d，作正五边形．作法：作法：作任意⊙O 的内接正五边形54321AAAAA．连结31AA、41AA．分别在31AA、41AA的延长线上截d'AA'AA4131联结43'A'A．过3'A作2323AA//'A'A交21AA延长线于2'A；过4'A作5454AA//'A'A交51AA延长线于5'A．则'A'A'A'AA54321为所作正五边形（见图 7－213（5））．9 9．什么是拿破仑分圆作图问题？．什么是拿破仑分圆作图问题？拿破仑不但是一位杰出的军事家，而且也酷爱数学．在统治法国之前，他一直忙于和当时伟大的数学家拉格朗日、拉普拉斯讨论数学问题．在他当上了法国统治者后，仍不忘讨论数学问题．有一次，他无意中读到了意大利学者马克尼罗写的关于只用直尺而不用圆规作圆的书，引起了他很大的兴趣．不久，他给法国数学家们出了一道题：“只用圆规怎样把已知圆四等分？”这道题现在看来很简单，但在当时却使数学家们绞尽脑汁．最后他们得出这样的解法：半径在圆周上任取一点 A．从 A 点开始，以已知圆的半径（假设为 R）为半径依次在圆周上画弧，截出 B、C、D 三点．则 AC 为圆内接正三角形的边长，R3AC；AD 是⊙O 的直径．再分别以 A、D 两点 为圆心，AC 长为半径作弧交圆外一点 P，则 OP 的长度正好是圆内接正方形的边长．这是因为在△AOP 中，R2R)R3(AOAPPO2222，恰为圆内接正方形的边长．然后只要以 OP 的长度依 次在圆周上划分，就把已知圆周四等分了（见图 7－214 中 E、F、G、H 四点）．1010．怎样用圆规．怎样用圆规““量量””角？角？量角器上有表明度数的刻度，所以，角的大小可以用量角器来量．圆规上并没有表明度数的刻度，但只要进行适当的操作，也可以“量”出角的大小．例如，要用圆规“量”图 7－215（1）所示角 α 的大小，先以角 α 的顶点 O 为圆心，任意长为半径画圆，交角的两边于 A、B 两点（如图 7－215（2））．现在，从 A 点开始，以 AB 长为半径，用圆规连续在圆周上截取，截了一次、两次、三次、……也可绕圆周兜了一圈、两圈、……最后，圆规的脚尖总会落到十分接近 A 点的地方．记住圆规一共截取了几次，一共绕圆周兜了几圈．那么，∠AOB（α）的度数就可以计算出来．假设一共截取了 16 次，总共绕圆周 3 圈，那么这个角 α 的度数就是'3067163oo ．这是因为如果把圆规在圆周上截取过的点都与圆心连结起来，那么，圆规截了一次后的中心角就是α，截了两次后的中心角就是 2α，……截了十六次后的中心角就是 16α．而这 16α 的角又正好是绕了圆周三圈，所以，16α＝360°×3，即'3067163oo ．这就是说，如果要用圆规“量”一个角 α，而圆规一共截取了 n 次，总共绕圆周兜了 m 圈，那么，这个角 α 的度数就是nmo．事实说明，虽然步骤较多，也比较麻烦，但是，用圆规还是可以“量”出一个角的大小的（当然，用这种方法“量”角是会有误差的）．1111．．““三等分角仪三等分角仪””的制作原理是什么的制作原理是什么? ?“三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个角分成三等分．把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图 7－216 中阴影部分的形状，使 AB 与半圆的半径CB、CD 相等，PB 垂直于 AD（即 PB 与半圆相切，切点为 B）．这便做成了一个“三等分角仪”．如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使 PB 通过角的顶点P，使 A 点落在角的 PM 边上，使角的另一边与半圆相切于 E 点．最后通过 B、C 两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB＝∠BPC＝∠CPN．证明证明：连结 CE，则 CE⊥PN．,PCERtPCBRtPABRt ∽∽Q.MPN31CPEBPCAPB 注注 在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1212．．““盲行转圈盲行转圈””的奥秘是什么的奥秘是什么? ?举世闻名的意大利水城威尼斯有一个马尔克广场．一千多年来，无数好奇者在这个广场上重复着一个非常简单而有趣的试验：实验者蒙着眼睛，从广场的南边线中点出发，面对正前方的一座教堂走去（如图 7－217（1））．虽然这段路程仅有 175 米，可是在这无法统计的实验者中，竟无一个人能够到达宽 82 米的教堂前台阶，全部偏斜到一边，走成了曲线，一直碰到两旁的石柱上．原苏联有人做过类似实验：在宽阔平整的飞行场地中央．整齐地排列着 100 名未来的飞行员．把他们的眼睛全部蒙起来后，让他们一直朝正前方走起初，一些人走得还算直；接着，有一部分渐渐偏向右方，另一部分人偏向了左方．走着，走着，全部转了圈子．而这些怪圈都近似于一个圆．在我国民间，也有夜间行路兜圈子，俗称“鬼打墙”的传说托尔斯泰的作品《主人和工人》中，有一段互西科赶着马在风雪交加的荒原上兜圈子的描写．为什么人在蒙上眼睛或在昏暗、浓雾的恶劣天气下，就不能走成直线呢？怎样计算这个怪圈的半径呢？下面就让我们来共同探索这怪圈的奥秘吧！前者是生理学问题．人和动物的身体构造并不完全对称．由于两腿的长短、肌肉发达的程度等不会绝对相同，这就造成左、右两腿的步幅并不相等．如果左腿步幅小，则向左走成曲线；反之，右腿步幅小，则向右走成曲线通常情况下，多数步行者向左偏．这是因为多数人右腿较左脚有力，步幅略大的缘故．人们在向可见目标前进时，会自动调整方向，因此不会有转圈问题发生．现在，让我们来估算一下怪圈的半径 R．假设人的左、右两腿的步幅和为 0.7 米（即通常所说的“步长”）；步幅之差为 0.4 毫米（要知道，这是一个很小很小的长度，绝大多数人的步幅之差都会大于这个数字），即 0.0004 米．左、右腿走路时踏脚线间的距离为 10 厘米（如图 7－217（2））．显然，走完一圈的步数为7 . 0R2，其中左腿和右腿迈出的步数都是.7 . 02 R2 左、右腿行走的两个同心圆的周长之差为0004. 07 . 02 R2（米）．走完一圈时，左、右腿所走的路程分别为 2πR、2π（R＋0.1）两个同心圆周长之差为 2π（R＋0.1）－2πR＝2π×0.1．).(350R2004. 07 . 02 R2与与与最后，请同学们根据图 7－217（3）所示，验证一下为什么马尔克广场上的所有实验者均不能走到教堂前的台阶．.27019309350OBAOAB:22222与与与与与∴ AB≈164． 因 164＜175，故实验者不能到达台阶．1313．怎样制作圆形七巧板．怎样制作圆形七巧板? ?圆形七巧板是一种新颖七巧板．它由 6 种形状共 7 块弧形板组成，拼合起来是一个圆，如图 7－218所示．其中①、②面积相等，⑥、⑦面积也相等；①、②、③的面积之和等于④、⑤、⑥、⑦的面积之和；①、②的面积各等于圆面积的81，③的面积为圆面积的41．圆形七巧板的制作方法是：A、B、C、D 是圆周的 4 个四等分点；E、F、G 分别的中点；作 OA 的垂直平分线 MN，H 为 MN 与圆的交点．以 H 为圆心、OA 长为半径可作出．用同样方法便能作出弧．画好以后，只要将这个圆贴在厚纸上，待干燥后用剪刀剪下来，就成了一套圆形七 巧板了．圆形七巧板的特点是其轮廓线是曲线，用它来拼组动物图案显得更具表现力．见图 7－219．1414．什么是蝴蝶定理．什么是蝴蝶定理? ?几何上的重要定理，往往是以研究者的名字来命名（如曼奈拉斯定理和祖暅定理等），或者以其主要性质来命名（如勾股定理和平行线判定定理等）．但也有一些定理，由于其几何图形形象奇特，貌似某物，便以其特征——物名来命名了．蝴蝶定理就是其中的一例．蝴蝶定理最早刊登在 1815 年西欧出版的《男士日记》上，1819 年被英国的一名中学数学教师霍纳所解答．此后，不断有人探求它的更初等的证明．到 1937 年，有一位中学教师斯特温利用三角形面积的一个恒等式，给出了一个简捷的证明．其他新证法仍在层出不穷．蝴蝶定理：过⊙O 的弦 PQ 之中点 M，任作两弦 AB、CD．弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 X、Y，则 M 为 XY 之中点．（如图 7－220（1））请看此图，其形象特征多么像一只正在翩翩起舞的彩蝶啊！这个定理曾有过许多长短不一、难易不同的证明，如霍纳法、斯特温法、詹森法、三角法、解析法、面积法和射影几何法等．现在，我们介绍一种较为简便的初等证法——相似法．过圆心 O 作 AD 与 BC 的垂线，垂足为 S 与 T，并连结 OX、OY、OM、SM、TM．,BC21BT,AD21DS,CMBAMD 与∽Q.BMDM BTDS又 ∵∠D＝∠B，∴ △MSD∽△MTB，∠MSD＝∠MTB．∴ ∠3＝∠4．又∵ O、S、X、M 与 O、T、Y、M 分别四点共圆，∴ ∠1＝∠2．又∵ OM⊥PQ，∴ XM＝MY．有趣的是，若把图中 AC 与 BD 分别延长，交 PQ 于'X，'Y，则 M 也是'Y'X之中点（如图 7－220（2））．类似地，可以证明△AMC∽△DMB，进而可证△MTC∽△MSB，∠MTC＝∠MSB，∠3＝∠4；又 O、M、T、 'X与 O、M、S、'Y分别四点共圆，从而∠2＝∠4，∠1＝∠3，推得∠1＝∠2．∴ '.MXM'Y1515．古希腊数学家埃拉托塞尼是怎样巧妙的算出地球的周长的？．古希腊数学家埃拉托塞尼是怎样巧妙的算出地球的周长的？测量地球的周长是古老的难题．公元前 240 年，古希腊数学家埃拉托塞尼应用了巧妙的方法算出了地球的周长．埃拉托塞尼在夏至日的中午，在埃及亚历山大港观测到阳光下标杆的影子，测得阳光与标杆 A 的夹角为 7.2°（如图 7－221）；同时在其东南面 500 英里（1 英里≈1.6093 千米）处的锡恩，见阳光正好射到一个枯井 B 的底部．于是，他把标杆到枯井的距离看成是地球球面大圆上相应两点之间的弧长，把阳光与标杆的夹角看成是地球球心 O 到 A、B 两点的半径之间的夹角．这样，英里， ∠AOB＝7.2°．现设地球周长为 C，则).(5 .40232)(2500050500C,2 . 7 360 500C与与与与而今，用精密测量仪器实测地球平均周长为 40030.3 千米，误差不超过千分之五．1616．什么是秦九韶城池问题？．什么是秦九韶城池问题？13 世纪下半叶，中国数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，给出了一道著名的数学题：有一座圆形城池，其东、南、西、北四方各有一个城门．北门外 1.5 千米处有一株乔木．若出南门后向东走，要走 4.5 千米路才能看到这株乔木．问这座城池的周长和直径各是多少？如图 7－222，乔木在 A 处，B、D 分别为南、北门．秦九韶设这座城池的直径的平方根为 x 千米，根据题意，AD＝1.5，BC＝4.5，作 OE⊥AC，点 E 为垂足．∵ △ABC∽△AEO，∴ AC：BC＝AO：OE．.2x:2x5 . 15 . 4:5 . 4)5 . 1x(22 222   与. 0729x486x9x12x42468这是一个八次方。