1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题含答案.pdf

1984 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 这份试题共八道大题 满分 120 分 奎屯 王新敞 新疆第九题是附加题 满分 10 分 不计入总分 一 本题满分一 本题满分 15 分 本题共有分 本题共有 5 小题 每小题都给出代号为小题 每小题都给出代号为 A B C D 的四个结论 其中只有一个结论是正确的的四个结论 其中只有一个结论是正确的 奎屯 王新敞 新疆把正确结论的代号写把正确结论的代号写 在题后的圆括号内在题后的圆括号内 奎屯 王新敞 新疆每一个小题 选对的得每一个小题 选对的得 3 分分 不选 选错或者选出不选 选错或者选出 的代号超过一个的 不论是否都写在圆括号内 一律得负的代号超过一个的 不论是否都写在圆括号内 一律得负 1 分分 奎屯 王新敞 新疆 1 数集X 2n 1 n是整数 与数集Y 4k 1 k是整数 之间的关 系是 C A X Y B X Y C X Y D X Y 2 如果圆 x 2 y2 Gx Ey F 0 与 x 轴相切于原点 那么 C A F 0 G 0 E 0 B E 0 F 0 G 0 C G 0 F 0 E 0 D G 0 E 0 F 0 3 如果 n 是正整数 那么 1 1 1 8 1 2 n n 的值 B A 一定是零 奎屯 王新敞 新疆 B 一定是偶数 奎屯 王新敞 新疆 C 是整数但不一定是偶数 D 不一定是整数 奎屯 王新敞 新疆 4 arccos x 大于xarccos的充分条件是 A A 1 0 x B 0 1 x C 1 0 x D 2 0 x 5 如果 是第二象限角 且满足 sin1 2 sin 2 cos 那么 2 A 是第一象限角 B 是第三象限角 B C 可能是第一象限角 也可能是第三象限角 D 是第二象限角 二 本题满分二 本题满分 2424 分 本题共分 本题共 6 6 小题 每一个小题满分小题 每一个小题满分 4 4 分分 奎屯 王新敞 新疆只要求只要求 直接写出结果 直接写出结果 1 已知圆柱的侧面展开图是边长为2 与4 的矩形 求圆柱的体积 奎屯 王新敞 新疆 答 84 或 2 函数 44 log 2 5 0 xx在什么区间上是增函数 答 x 2 3 求方程 2 1 cos sin 2 xx的解集 奎屯 王新敞 新疆 答 12 12 7 ZnnxxZnnxx 4 求 3 2 1 x x的展开式中的常数项 奎屯 王新敞 新疆 答 20 奎屯 王新敞 新疆 5 求 13 21 lim n n n 的值 奎屯 王新敞 新疆 答 0 6 要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单 任何两 个舞蹈节目不得相邻 问有多少种不同的排法 只要求写出式子 不 必计算 奎屯 王新敞 新疆 答 6 4 7 P 三 本题满分三 本题满分 1212 分 本题只要求画出图形分 本题只要求画出图形 奎屯 王新敞 新疆 1 设 0 1 0 0 x x xH 当 当 画出函数 y H x 1 的图象 奎屯 王新敞 新疆 2 画出极坐标方程 0 0 4 2 的曲线 奎屯 王新敞 新疆 解 四 本题满四 本题满 分分 1212 分 分 已知三个平面 两两相交 有 三条交线 奎屯 王新敞 新疆求证这三条交线交于一点或互相平行 奎屯 王新敞 新疆 证 设三个平面为 且 abc bcbc 从而 c 与 b 或交于一点或互相平行 奎屯 王新敞 新疆 1 若 c 与 b 交于一点 设 PccPPbc有且由 aPPbbP 于是有又由 所以a b c 交于一点 即 P 点 2 若 c b 则 由 acaccb 可知且又由有 奎屯 王新敞 新疆所以a b c 互相平行 奎屯 王新敞 新疆 五 本题满分五 本题满分 1414 分 分 设 c d x 为实数 c 0 x 为未知数 奎屯 王新敞 新疆讨论方程 1log x x d cx 在什么情 况下有解 奎屯 王新敞 新疆有解时求出它的解 奎屯 王新敞 新疆 解 原方程有解的充要条件是 2 4 O 1 2 X 1 Y 1 0 O 1 X P b a c b a c 4 3 0 2 0 1 0 1 x x d cx x d cx x d cx x 由条件 4 知1 x d cxx 所以1 2 dcx 奎屯 王新敞 新疆再由 c 0 可得 1 2 c d x 又由1 x d cxx及 x 0 知0 x d cx 即条件 2 包含在条件 1 及 4 中 奎屯 王新敞 新疆 再由条件 3 及1 x d cxx 知 1 x因此 原条件可简化为以下的 等价条件组 6 1 x 5 1 x 1 0 2 c d x 由条件 1 6 知 0 1 c d 这个不等式仅在以下两种情形下成立 c 0 1 d 0 即 c 0 d 1 c 0 1 d 0 即 c 0 d 1 再由条件 1 5 及 6 可知dc 1 从而 当 c 0 d 1 且dc 1时 或者当 c 0 d 1 且dc 1时 原 方程有解 它的解是 c d x 1 奎屯 王新敞 新疆 六 本题满分六 本题满分1616分 分 1 设0 p 实系数一元二次方程02 2 qpzz有两个虚数根z1 z2 再设z1 z2在复平面内的对应点是Z1 Z2 奎屯 王新敞 新疆求以Z1 Z2为焦点且经过原点的 椭圆的长轴的长 奎屯 王新敞 新疆 7分 2 求经过定点M 1 2 以y轴为准线 离心率为 2 1 的椭圆的左顶 点的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆 9分 解 1 因为p q为实数 0 p z1 z2为虚数 所以 0 04 2 22 pp 由 z1 z2为共轭复数 知 Z1 Z2关于 x 轴对称 所以椭圆短轴在 x 轴上 奎屯 王新敞 新疆又由椭圆经过原点 可知原点为椭圆短轴的一端点 奎屯 王新敞 新疆 根据椭圆的性质 复数加 减法几何意义及一元二次方程根与系数的 关系 可得椭圆的 短轴长 2b z1 z2 2 p 焦距离 2c z1 z2 2 21 2 21 2 4 pqzzzz 长轴长 2a 22 22 qcb 2 因为椭圆经过点 M 1 2 且以 y 轴为准线 所以椭圆在 y 轴右 侧 长轴平行于 x 轴 奎屯 王新敞 新疆 设椭圆左顶点为 A x y 因为椭圆的离心率为 2 1 所以左顶点 A 到左焦点 F 的距离为 A 到 y 轴的距离的 2 1 从而左焦点 F 的坐标为 2 3 y x 奎屯 王新敞 新疆 设 d 为点 M 到 y 轴的距离 则 d 1 奎屯 王新敞 新疆 根据 2 1 d MF 及两点间距离公式 可得 1 2 4 3 2 9 2 1 2 1 2 3 22 222 yx y x 即 这就是所求的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆 七 本题满分七 本题满分 1515 分 分 在 ABC 中 A B C 所对的边分别为a b c 且 c 10 3 4 cos cos a b B A P 为 ABC 的内切圆上的动点 奎屯 王新敞 新疆求点 P 到顶点 A B C 的 距离的平方和的最大值与最小值 奎屯 王新敞 新疆 解 由 a b B A cos cos 运用正弦定理 有 2sin2sincossincossin sin sin cos cos BABBAA A B B A 因为 A B 所以 2A 2B 即 A B 2 奎屯 王新敞 新疆 由此可知 ABC 是直角三角形 奎屯 王新敞 新疆 由 c 10 8 60 0 3 4 222 babacba a b 可得以及 如图 设 ABC 的内切圆圆心为 O 切点分别为 D E F 则 AD DB EC 12 6810 2 1 但上式中 AD DB c 10 所以内切圆半径 r EC 2 如图建立坐标系 则内切圆方程为 x 2 2 y 2 2 4 设圆上动点 P 的坐标为 x y 则 48876443 764 2 2 3 100121633 6 8 22 22 222222 222 xx xyx yxyx yxyxyx PCPBPAS 因为 P 点在内切圆上 所以 40 x S最大值 88 0 88 S最小值 88 16 72 奎屯 王新敞 新疆 Y B 0 6 D E O P x y X O C 0 0 A 8 0 解二 同解一 设内切圆的参数方程为 20 sin22 cos22 y x 从而 222 PCPBPAS cos880 sin22 cos22 4sin2 cos22 sin22 6cos2 22 2222 因为 20 所以 S最大值 80 8 88 S最小值 80 8 72 奎屯 王新敞 新疆 八 本题满分八 本题满分 1212 分 分 设a 2 给定数列 xn 其中 x1 a 2 1 1 2 2 1 n x x x n n n 求证 1 2 1 1 2 1 n x x x n n n 且 2 2 1 2 1 2 3 1 nxa n n 那么如果 3 3 3 4 lg 3 lg 3 1 n x a na必有时那么当如果 1 证 先证明 xn 2 n 1 2 用数学归纳法 奎屯 王新敞 新疆 由条件a 2 及 x1 a知不等式当 n 1 时成立 奎屯 王新敞 新疆 假设不等式当 n k k 1 时成立 奎屯 王新敞 新疆 当 n k 1 时 因为由条件及归纳假设知 0 2 0442 22 1 kkkk xxxx 再由归纳假设知不等式0 2 2 k x成立 所以不等式2 1 k x也成立 奎屯 王新敞 新疆从 而不等式 xn 2 对于所有的正整数 n 成立 奎屯 王新敞 新疆 归纳法的第二步也可这样证 2 22 2 1 2 1 1 1 2 1 1 k kk x xx 所以不等式 xn 2 n 1 2 成立 奎屯 王新敞 新疆 再证明 2 1 1 1 n x x n n 由条件及 xn 2 n 1 2 知 21 1 2 1 1 n n n n n x x x x x 因此不等式 2 1 1 1 n x x n n 也成立 奎屯 王新敞 新疆 也可这样证 对所有正整数 n 有 1 12 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 nn n xx x 还可这样证 对所有正整数 n 有 0 1 2 2 1 n nn nn x xx xx所以 2 1 1 1 n x x n n 2 证一 用数学归纳法 奎屯 王新敞 新疆由条件x1 a 3知不等式当n 1时成立 奎屯 王新敞 新疆 假设不等式当 n k k 1 时成立 奎屯 王新敞 新疆 当 n k 1 时 由条件及2 k x知 0 2 1 2 2 0 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 k kk k k k k k kk k k xx xx xxx 再由2 k x及归纳假设知 上面最后一个不等式一定成立 所以不等 式 k k x 2 1 2 1 也成立 从而不等式 1 2 1 2 n n x对所有的正整数 n 成立 奎屯 王新敞 新疆 证二 用数学归纳法 奎屯 王新敞 新疆证不等式当 n k 1 时成立用以下证法 由条件知 1 1 1 2 1 1 k kk x xx再由2 k x及归纳假设可得 kk k x 2 1 211 2 1 2 2 1 1 1 3 证 先证明若 4 3 3 1 k k k x x x则这是因为 4 3 13 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 kk k xx x 然后用反证法 奎屯 王新敞 新疆若当 3 4 lg 3 lg a n 时 有 3 1 k x则由第 1 小题知 3 121 nn xxxx 因此 由上面证明的结论及 x1 a可得 4 3 3 1 2 3 1 2 11 n n n n a x x x x x x xx 即 3 4 lg 3 lg a n 这与假设矛盾 奎屯 王新敞 新疆所以本小题的结论成立 奎屯 王新敞 新疆 九 附加题 本题满分九 附加题 本题满分 1010 分 不计入总分 分 不计入总分 如图 已知圆心为 O 半径为 1 的圆与直线 L 相切于点 A 一动 点 P 自切点 。