4-7--特殊域上的多项式ppt课件(全).ppt

2024/8/26高等代数复数域和实数域上的多项式复数域和实数域上的多项式2024/8/26高等代数一、C上多项式对于上的多项式，它在F上未必有根，那么它在C上是否有根？ 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根定理（代数基本定理）： 任何n（n>0）次多项式在C上有n个根（重根按重数计算）定理当n=1时结论显然成立证：2024/8/26高等代数假设结论对n-1次多项式成立，则当是n次多项式时，由于在C上至少有一个根，设为则 ， 是C上n-1次多项式由归纳假设知在C上有n-1个根， 推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式推论2：任一个n（n>0）次多项式在 在C上的根，所以n个根它们也是在C上有2024/8/26高等代数上都能分解成一次因式的乘积，即的标准分解式是：其中是不同的复数，是自然数且韦达定理： 设是 的两个根，则2024/8/26高等代数C上多项式的根与系数关系：设 —（1）是一个n（n>0）次多项式，则它在C中有n个根，记—（2）比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，则 为2024/8/26高等代数得根与系数的关系为：如果根与系数的关系又如何？2024/8/26高等代数2024/8/26高等代数利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式，使其恰以为根。

例：它以1和4为单根，-2为2重根求一个首项系数为1的4次多项式，使解：设则 2024/8/26高等代数二、实数域上的多项式定理：如果是实数系数多项式的与 有相同的重数证：设由于是 的根，故有两边取共轭复数，注意到和0都是实数，则有可见也是的根非实复根，则的共轭复数也是的根，且2024/8/26高等代数因此多项式：能整除，即存在多项式 ，使 是实系数多项式，故也是实系数多项式若 是 的重根，由于 ，故 必是的根，是实系数，故也是的根，故 也是的重根与重复应用这个推理方法知的重数相同2024/8/26高等代数唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的定理 每个次数的实系数多项式都可乘积就是一次因式子，结论成立 若 ， 证明：的次数作数学归纳对 假设对结论次数

即在上， 推论3中不可约多项式除一次多项式外，只有含非实共轭复根的二次多项式2024/8/26高等代数推论4n（n>0）次实系数多项式具有标准分解式：不可约，即满足在R上2024/8/26高等代数例：设是多项式的非零根，求以为根的四次多项式解：设为多求多项式2024/8/26高等代数2024/8/26高等代数所求多项式是：或 2024/8/26高等代数有理系数多项式有理系数多项式2024/8/26高等代数 讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求Q上多项式的有理根，由于与 在 上的可约性相同因此讨论在Q上的可约性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性一、整系数多项式的可约性定义1（本原多项式）：若整系数多项式的系数互素，则称是一个本原多项式例如： 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式是本原多项式2024/8/26高等代数引理（高斯定理）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式证： 设都是本原多项式若 不是本原多项式，则存在素数p，使由于都是本原多项式，故的系数不能都被p整除，的系数也不能被p整除，2024/8/26高等代数可设但 但 现考虑除了这一项外，p能整除其余各项，因此这是一个矛盾，故 是本原多项式。

定理：一个整系数n（n>0）次多项式在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约2024/8/26高等代数证：充分性显然下证必要性设可分解成中两个次数都小于n的多项式与 的乘积，即有设 的系数的公分母为m，则一个整系数多项式，把是系数的公因式n提出来，是本原多项式，即 同理，存在有理数S，使也是本原多项式，2024/8/26高等代数于是下证是一个整数，设（p,q互素且p>0），由于是整系数多项式，故p能整除q与的每一系数的乘积，而p,q互素，故p能整除的每一系数，但由引理1知，是本原多项式，故p=1，从而rs是一个整数2024/8/26高等代数 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题问题：定理（Eisenstein判别法）：设是整系数多项式，若存在素数p，使② ①③则 在Q上不可约2024/8/26高等代数证（反证法）：若在Q上可约在Z上可约，即存在：使 其中故 或 但两者不能同时成立2024/8/26高等代数不妨设但 。

由于 ， 由 知 的系数不能都被p即但 现考虑但p能整除其它项，故与已知矛盾假设是第一个不能被p整除的系数，整除，在 中不可约在 中不可约2024/8/26高等代数 由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式例：是Q上不可约多项式，p是素数例1.9.2： 判断在Q上是否可约？解：分别取p=2, p=3即知解：取素数p即知2024/8/26高等代数Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件，但不是必要条件注意：例：不可约，但找不到素数p系数多项式特别地，若是本原的，则也是本原的推论：设若 都是整系数多项式，且是本原的，则必是整的所有系数若不是2024/8/26高等代数二、整系数多项式的有理根定理：设是一个整系数多项式，若有理数是整系数多项式的一个根，这里u，v是互素的整数，则①②证：（1）是 的根，有一次因式2024/8/26高等代数即 因为是本原多项式是整系数多项式，故是整系数多项式2）设是整数比较两边n次项与常数项系数得：2024/8/26高等代数由定理，要求整系数多项式的有理根，只要求出最高次项系数的因数以及常数项的因数。

然后对形如有理数用综合除法来检验，如果最高次系数为1，则整系数多项式f的有理根只能是整根这样的例：求的有理根解：2的因数是的因数是故 可能的有理根只能是对 用综合除法逐一检验知：的有理根只能是 2024/8/26高等代数定理：设是互素的整数，且是整系数多项式的根，则证：由把 代入得：。