浅谈取绝对值函数的可微性.docx

    浅谈取绝对值函数的可微性    王金[摘要]探讨了数学分析中关于取绝对值函数的求导问题，提出了判断绝对值函数导数的存在性以及求导的直接法，并将此法由一元推广到多元，给出了两类特殊函数求导的公式解[关键词]绝对值函数 可微性 导数 偏导数一、前言对于取绝对值函数的求导问题，在通常情况下，只能通过其定义求解，而下面给出的结论能够更全面、更简单的解决取绝对值函数的求导问题二、取绝对值的一元函数的求导问题命题1：若函数f（x）在区间（a，b）内可微，P0（x0）在（a，b）内，则有：1）当f（x0）≠0时2）当f（x0）=0时存在的充分且必要条件是：若f（x0）= 0， 那么 =0. 【1】证明：1） 因为f（x0）≠0，不妨设f（x0）>0，则由可微必连续的性质，存在U（x0，δ），在U（x0，δ）内f（x）>0，从而在U（x0，δ）内，|f（x）|=f（x）由导数概念的局部性可知：即（1）式成立2）当f（x0）=0时从而可知，当且仅当f`（x0）=0时， 存在，显然 即2）式成立所以命题得证这个命题不仅提供了判断导数存在的方法，而且还给出了导数的求解方法，我们估且称此法为直接法下面看几个简单的例子：例1： 已知g（x）=|f（x）|=|x|，求g`（x）.解： 1） 当x≠0时， f（x）=x=0由命题1有：2） 当x=0时， f（x）=x=0∵f`（x）|x=0=1≠0∴g（x）在x=0处不可导。

所以看下面几个有关特殊函数的定理：定理1：如果y=ln|x|，则 . 【2】证明： 由y=ln|x|可知，x≠0.令u=|x|， ∴y=lnu， 由例1可知，， 所以命题得证定理1：如果y=ln|ax|，a∈R则读者可自行证明该定理由此可见，此类函数的求导结果与绝对值函数的系数没有关系定理2：如果 （pφ0），则 .所以命题得证.例2： 已知g（x）=|f（x）|=|cos（x）|， 求g`（x）.解： 1） 当f（x）≠0时，即 ， k≠0，±1，±2，…因此我们有：2） 当f（x）=cosx=0时， 即∴g（x）在 ， 时不可导.所以例3： 求极限 ， （a≠0，b≠0） 【1】解： ，当x∈p（0，δ）时，使x≠0，sinax≠0且sinbx≠0当x∈p（0，δ） 时，x≠0， 均存在，因此可利用罗比塔法则：三、取绝对值的多元函数的求导问题命题2：若函数f（x1，x2，…，xn）在领域D内可微， 且n≥2， 则有：1） 当 时，有：2） 当 时，存在的充分必要条件是：证明：1） 若 ，不妨设 ，则有可微必连续，有： ，在u（p0，δ）内，f（x1，x2，…，xn）>0，从而在u（p0，δ）内|f（x1，x2，…，xn）|=f（x1，x2，…，xn）.由偏导数概念的局部性有：所以1）式成立.2） 若 ，即2）式成立.因此命题得证.例4： 已知g（x1，x2）=|f（x1，x2）|=|a1x1+a2x2|，求 ，其中αi∈R，i=1，2.解：1）：当a1x1+a2x2=f（x1，x2）≠0时，由命题2有：因此函数g（x1，x2）在a1x1+a2x2=0处不可导.例5：如果解：令u=|a1x1+a2x2|，则y=lnu，显然u≠0，由例4可得由此可得到一个简单的推论：推论1：于是命题得证.例6： 如果函数所以命题得证.根据例6容易得到下面的推论：推论2：证明： （略）四、命题说明⑴对于绝对值函数的端点的可导性可用左、右导数的定义进行讨论。

⑵将定理2中绝对值函数系数推广到不为零的任意实数，即如果 那么 其中0≠a∈R该结论与前面几个结论相比，不具有特殊性，因此在原文中没有写入[参考文献][1]马金凤、刘文昱，《关于取绝对值函数可微性的讨论》，兵团教育学院学报，2001年，第三期，63-64[2]（苏）N·PISKUNOV著，邓本让等译，微分与积分学（上），吉林人民出版社，1983，96[3]方企勤，多元函数微分学，上海科学技术出版社，1980，19-65[4]华东师大数学系，数学分析（上、下），高等教育出版社，2000年（上）110-170，（下）121-166作者单位：天祝藏族自治县第二中学 甘肃天祝）  -全文完-。