上海市六年级(上)数学暑假讲义第13讲(培优)比的意义与性质(解析版).pdf

比的意义和比的基本性质是六年级数学上学期第三章第一节的内容，通过本讲的学习， 同学们需要理解比和比值的意义、能区分比和比值、 熟练地求解比和比值，同时要理清比与除法、 分数等概念之间的联系和区别，也必须理解比的基本性质，并能熟练运用这个性质进行最简整数比的化简和连比的求解1、 比和比值a、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和 a 相比较，将a 与 b 相除，叫做a 与 b的比 记作 a : b，或写成ab，其中0b；读作 a 比 b，或 a 与 b 的比a 叫做比的 前项 ，b 叫做比的 后项 前项 a 除以后项b 所得的商叫做比值 2、 比、分数和除法的关系比：前项：后项= 比值；分数：分子分母= 分数值；除法：被除数除数= 商比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；比值相当于分数的分数值和除式的商3、 比、分数和除法的区别比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算比的意义与性质内容分析知识结构模块一：比的意义知识精讲2 / 12【例 1】比的前项是38，比的后项是223，则它们的比值是_【答案】964【解析】由题意，得3238339283838864【总结】考查比值的意义【例 2】王奶奶买了2 斤苹果用去10.8 元，买了 3 斤梨用去12 元，苹果与梨的单价比的比值是 _【答案】 1.35【解析】苹果单价：10.825.4 元，梨的单价：1234 元，苹果与梨的单价之比为275.4: 45.441.3520或【总结】考查比的基础应用【例 3】夏日炎炎，商店需调制一种夏日特饮：青柠雪碧，要求青柠汁与雪碧的质量之为 1 : 200，这个比的意义是（）A每 200 克饮料中含1 克青柠汁B每 1 克青柠汁配200 克雪碧C青柠汁比雪碧少199 克D雪碧比青柠汁多199 克【答案】 B【解析】青柠汁和雪碧的质量之比为1: 200，是指 1 份青柠汁配200 份雪碧，不一定指青柠汁一定是 1 克， 雪碧一定是200 克， 另外，A 选项应该是201 克饮料中含有1 克青柠汁【总结】考查比的基本意义【例 4】求下列各个比的比值：（1）40 分钟: 1.5 小时；（2）16 小时: 5 天；（3）4 千克: 500 克；（4）20cm : 0.6m【答案】（ 1）49；（ 2）215；（ 3） 8；（ 4）13【解析】求各项的比值，当两者单位不一样时，需要先统一单位，比如40 分钟： 1.5 小时，需要统一为分钟，40 分钟： 90 分钟49，其它都需要强调单位换算的进率例题解析【总结】考查比值的意义【例 5】一个数的小数点向右移动三位，得到的数与原数的比是_【答案】 1000:1 【解析】一个数的小数点向右移动三位，这个数扩大1000 倍，与原数之比为1000:1 【总结】考查小数点移动的意义【例 6】甲数是乙数的4 倍，乙数是丙数的6 倍，求甲数与丙数的比值【答案】24【解析】设丙数为1 份，则乙数是6 份，甲数是24 份，所以甲数是乙数的24 倍，甲与丙的比值为 24【总结】考查三个数之间的比的基础转换【例 7】公园有一个湖泊，其余为绿地、建筑物和道路已知公园面积为215平方千米，绿地面积为公园的23，建筑物和道路的占地总面积是公园面积的118，求湖泊面积和绿地面积的比值【答案】512【解析】公园分3 部分，一是湖泊，二是绿地，三是建筑物和道路，绿地占总体的23，建筑物和道路占总体的118，所以湖泊占总体的215131818，所以湖泊与绿地面积之比为52:5:12183，比值为512【总结】考查比的基础应用【例 8】一根绳子长132米，若按3 : 4 分成两段，其中长的一段是多少米？【答案】2米【解析】一根绳子按3: 4 分成两段，其中较长的一段占总体的47，长为143227米【总结】考查按比例分配的基础应用模块二：比的基本性质4 / 121、 比的基本性质比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0 除外） ，比值不变2、 最简整数比比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比 注：题目中比的结果都必须化成最简整数比3、 三连比的性质1、如果:a bm n ，:b cn k ，那么:a b cm n k ；2、如果0k，那么:a b cak bk ck 【例 9】以下说法中，正确的个数是（）（1）比的前项和后项乘以一个相同的数，比值不变；（2）女同学占全班人数的49，则女同学和男同学的人数之比为4 : 5；（3）把 20 克糖溶解在100 克水中，糖与糖水的质量比为1 : 6；（4）25 厘米和 15 米的比值是53；（5）在 4 : 8 中，如果前项加上8，要使比值不变，后项应加上8A 1个B2 个C3 个D4 个【答案】 B【解析】理解比的基本性质，要强调乘以（或除以）同一个不为零的数，所以（1）不对；女生占全部人数的49，则男生占全部人数的59，则女生与男生之比为4 : 5，所以（ 2）是对的；把20 克糖溶解在100 克水中，糖与糖水之比为20:1201: 6 ，所以（ 3）是对的；25 厘米和 15 米单位不一样， 所以比值不是53，所以（4）不对； 4 :8 的前项加上8，增加了 2 倍，要使比值不变，后项也要增加2 倍，也就是应该加上16，所以（ 5）是不对的【总结】考查比的意义及基本性质的相关概念知识精讲例题解析【例 10】化简下列各比：（1）511:196；（2）60.3:35；（3）125 毫升: 0.6 升；（4）1.2 米 : 40 厘米: 8 分米【答案】（ 1） 4:3；（ 2） 1: 4:10 ；（ 3） 5: 24；（ 4） 3:1: 2【解析】比的化简，运用的是比的基本性质，比如第（2）题，有分数有小数，可以统一为小数，也可以统一为分数，60.3:30.3:1.2:33:12:301: 4:105，当比的各项单位不一样时， 需要给学生强调统一单位再化简，以及注意结果是最简整数比，比如第（4）题， 1.2 米： 40 厘米： 8 分米 120 厘米： 40 厘米： 80 厘米 3：1：2【总结】考查比的基本性质【例 11】根据已知条件求a : b : c（1）a : b = 2 : 3， b : c = 3 : 4；（2）a : b = 2 : 3， b : c = 6 : 5；（3）a : b = 3 : 2， b : c =41:153【答案】（ 1）:2:3: 4a b c；（ 2）:4:6:5a b c；（ 3）:9:6:10a b c【解析】 三项连比的化简，先确定两个比是最简整数比，再确定哪一项是关联项，关联项统一为最小公倍数，这样三项连比才是正确的结果；（1）:2:3a b，:3: 4b c， b 在两个比中都是占3 份， 所以三项比的结果直接写:2:3: 4a b c；（2） :2:3a b， :6:5b c，b 在第一个比中占3 份，在第二个比中占6 份，利用比的基本性质统一第一个比:4:6a b， 所以:4:6:5a b c；（ 3） 第二个比不是最简整数比，化简41:13:553b c，b 在两个比中，一个占2 份，一个占3 份，统一为6 份，第一个比化为:9: 6a b，第二个比化为:6:10b c，所以:9:6:10a b c【总结】考查三项连比的化简方法，这是一个教学重难点【例 12】写同样多的作业，小智用12 分钟，小方用15 分钟，那么小智与小方速度的最简整数比是 _【答案】 5: 4 【解析】 小智的时间12 分，效率为112， 小方的时间为15 分钟，效率为115，效率就是速度，所以小智与小方的速度之比为11:15:125: 412 15，也可以给学生拓展相等的工作量，速度比是时间的反比6 / 12【总结】考查行程（工程）问题中速度比的求解【例 13】甲数的35等于乙数的14，甲乙两数的比为_【答案】 5:12 【解析】这一题考查比例的应用，由题意，得3154甲乙 ，所以13=:5:1245甲：乙【总结】考查等积式与比例式之间的转换【例 14】一项工程，甲队单独做3 天完成，乙队单独做5 天完成，丙队单独做6 天完成，那么甲、乙、丙三队的工作效率之比为_【答案】 10:6:5【解析】甲单独完成一件工作，3 天，所以甲每天完成13，同理，乙每天完成15，丙每天完成16，三个工作队的效率之比为1 11:10 :6:53 56【总结】考查工程问题中效率之比的求法【例 15】5 克盐完全溶解在100 克水中（1）求盐与水的质量比；（2）求盐与盐水的质量比；（3）要配制520 千克这样的浓度的盐水，需要盐多少千克？【答案】（ 1） 1: 20 ；（ 2） 1: 21；（ 3）52021千克【解析】（1）盐：水5:1001: 20 ；（ 2）盐：盐水1: 21 ；（3）盐占盐水的121，要配置520 千克这样浓度的盐水，需要盐15205202121千克【总结】考查“盐水”问题中的相关比的求解【例 16】如图，阴影部分的面积是正方形面积的27，是圆面积的316，求正方形与圆的面积之比【答案】 21:32 【解析】方法一：阴影面积是正方形面积的27，是圆面积的316，所以23=716SS正圆，所以32:21: 32167SS正圆；方法二：利用分数基本性质，将23716和统一分子，即66=2132SSSS正阴阴圆；，所以:21: 32SS正圆【总结】本题综合性较强，考查比的综合应用，注意分析条件【例 17】a : b : c = 1 : 3 : 4，a + c = 20，求 a + b + c 的值【答案】 32 【 解 析 】 设34akbkck， 因 为20ac， 即4204kkk， 所 以4121632abcabc，【总结】考查比的综合应用，利用设k 法求值【例 18】甲、乙、丙三人去书店买书，共带去54 元，甲用去了自己钱的35，乙用去了自己钱的34，丙用去了自己钱的23，各买了一本相同的书，三人用去的钱数正好相等，问这本书的价格是多少？【答案】12元【解析】由题意，得332=543甲乙丙书的价钱，33=54甲乙，3 3=5:44 5甲：乙：；32=43乙丙 ，23=:8:934乙：丙，利用连比的化简方法得，=10:8:9甲：乙：丙，又因为甲、乙、丙共带了54 元，所以甲带了54 的1010=10+8+927，即甲带了1054=2027元，这本书的价钱是甲带的钱的35，所以这本书的价钱为320=125元【总结】考查比和比例的综合应用，难度较大随堂检测8 / 12【习题 1】 一个比的前项是15，比值是114，则这个比的后项是_【答案】12【解析】比的后项比的前项除以比值，即1151124【总结】考查比的前项、后项和比值之间的相互转换【习题 2】 求下列各比的比值：（1）123:125；（2）3 小时 : 150 分【答案】（ 1）52；（ 2）65【解析】（1）127753:125252；（ 2）63:150=1805小时分分:150 分=【总结】考查比值的求解方法，注意结果不能写成:a b 的形式【习题 3】 化简下列各比：（1）511:163；（2）2 平方米: 4320 平方厘米；（3）4: 0.4 :25（4） 120 分 : 1.2 小时: 1 小时 20 分钟【答案】（ 1） 11:8 ；（ 2） 125: 27 ；（ 3） 2:1:5 ；（ 4）15:9:10【解析】利用比的基本性质，化简比，注意结果的最简性即可，比如第（3）题，4:0.4 :20.8: 0.4 :28: 4:202:1:55；比如第（ 4）题，120:1.2:120120:72:8015:9:10分小时小时分分分分【总结】考查比的基本性质及比的化简【习题 4】 比的前项是2.5，比的后项是5.25，如果比的前项增加1.5，那么比的后项增加_时，比值不变【答案】 3.15【解析】首先这个比是2.5:5.25250:52510: 21，比值为1021，设比的后项增加x，根据比值不变，列方程10101.52121。