多项式的分解.ppt

§ 多项式的分解 ⒈ 中学学过因式分解 , 即 多项式 不能再分的因式乘积 , 不能再分 ? 本节要明确 , 并讨论多项式分解问题 ! ⒉ 对 f(x)F[x], cf, f(x)的因式 , cf(x)也总是 f(x)的因式 , 这两类因式被称为平凡因式 . ⒊ 零次多项式只有平凡因式 , 次数大于零的多项式则有两个可能 : 只有或不仅有 (有其它因式 )平凡因式 . § 多项式的分解 定义 设多项式 f(x)F[x]且 (f(x))>0. 若 f(x)在 F[x]中只有平凡因式 , 则称 f(x)在数域 或 F[x]中 )不可约 . 反之 , 称若 f(x)在数域 或 F[x]中 )可约 . (所谓 反之 ,即 f(x)在 F[x]中除平凡因式外还有其它因式 ) 定义的另一叙述 : 若多项式 f(x)有一个非平凡因式 g(x), 且 f(x)=g(x)h(x), 则显然有 : (g(x)) 0)次多项式能分解成F[x]中两个次数小于 g(x)与 h(x)的积 : (1) f(x)=g(x)h(x), 则称 f(x)在 (继续 ) 若 f(x)在 F[x]中任一形如 (1)式的分解式总含有一个零次因式 , 则 f(x)在 § 多项式的分解 (由定义 )⒈ 零多项式与零次多项式既非可约亦非不可约 . ⒉ 多项式环 F[x](必有一次多项式所以 )都 不可约多项式 . ∵ 一次多项式不能分解成两个次数更低的多项式乘积 ⒊ 多项式的可约与不可约应在给定的数域来讨论 . 比如 : 多项式 2在 即不能分解成 但在 2=(x2)(x+2) § 多项式的分解 (下面是 ) 不可约多项式重要性质 : (a) 若多项式 p(x) 不可约 , 则对c(0)F, c与 p(x)的乘积 cp(x)也不可约 . ∵ 若 cp(x)=g(x)h(x), 且 (g(x)) 0)次多项式 f(x)F[x], f(x)都可分解成 F[x]的不可约多项式之乘积 . § 多项式的分解 证 : 若多项式 f(x)不可约 , 定理成立 , 即 : f(x)=f(x). 若 f(x)可约 , 则 : f(x)=f1(x)f2(x), 且 (f1(x)) 1时叫重因式 . (5)中不出现的不可约因式叫 零重因式 . § 多项式的分解 ⒊ 典型分解式 : (5)式中若有 p1(x), p2(x),..., pt(x)互不相等 , 其它因式都等于这 且 , pi(x)(i=1,2,...,t)分别是f(x)的 (5)即 : (6) f(x)=a(x)(x)(x), (6)即多项式 f(x)的 (唯一确定的 ) 典型分解式 . § 多项式的分解 ⒋ 显然 , 已知两个多项式的典型分解式时 , 容易求得它们的最大公因式 . 设 f(x), g(x)F[x], (f(x))>0, (g(x))>0, 而且都有 f(x)=a(x)...(x)(x)...(x), g(x)=b(x)...(x)(x)...(x), 其中 , qi(x)(i=r+1,...,s)  j(x)(j=r+1,...,t), 令 mi= (i=1,2,...,r), 则 : d(x) =(x)(x)...(x) = (f(x),g(x)). § 多项式的分解 (事实上 ), d(x)显然是 f(x),g(x)的公因式若 d1(x)是 f(x),g(x)的任一次数大于零的公因式 , d1(x)的典型分解式中的每个不可约因式只能是某一 pi(x), 且其重数  因此 : d1(x)=c(x)(x)...(x), 其中 0 mi(i=1,2,...,r), c(0)F, ∴ d1(x)|d(x). 若 f(x),g(x)的典型分解式没有共同的不可约因 式 , 则 (f(x),g(x))显然是零次多项式 . 注意 : 这种方法不能代替辗转相除法 . 一般地 , 没有通用方法使 : 多项式  分解成不可约多项式乘积 , 甚至在数域 返回第二章目录 § 多项式的分解 例 在 f(x)=2x2为不可约 因式的乘积 . 解 : 不难得到 : (7) 2x2= (x+1)(2); 一次因式 x+1显然在 实际上 : 2 也在 否则 , 2可写成 2 的两因式的乘积 , 即 : (8) 2=(x+a)(x+b) a, bQ 的形式 ,展开 (8)式右边 : (a+b)x+比较左边有 : a+b=0, 2, 解得 a= , 与 a ∴ (7)式右边是 f(x)的一个不可约因式分解 . 也可从承认 (8)式出发 , 则它也给出 2在 一个不可约因式分解 : 2=(x+ )(x ), 从而 , 由唯一分解定理推得矛盾 : a= . 222 2。