考研数学一函数极限连续一元函数微分学历年真题试卷汇编1_真题(含答案与解析)-交互.pdf

考研数学一（函数、极限、连续，一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 ( 总分 114, 做题时间 90分钟) 1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1. (2005 年试题， 8)设 F(x) 是连续函数 f(x) 的一个原函数，“”表示“M的充分必要条件是 N ”，则必有 ( )SSS_SINGLE_SELA F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数B F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数C F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数D F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:A 解析：由题意可知f(x) 为奇函数为偶函数 f(x) 的全体原函数为偶函数； F(x) 为偶函数 F(一 x)=F(x) ，则 F ( 一 x).( 一 1)=F (x) ，即 f( 一x)=一 f(x) F (x)=f(x)为奇函数，所以选A解析二排除法，通过举反例来判断令 f(x)=6 ，则可取 F(x)=6x+1 ，排除 B和 C ；令 f(x)=6x ，则可取 F(x)=3x 2，排除 D ，故综上选 A 对于函数的另一大性质有界性，原函数与函数的关系如何 ? 2. (1999 年试题， 1)设 f(x) 是连续函数， F(x) 是 f(x) 的原函数，则 ( )SSS_SINGLE_SELA 当 f(x) 是奇函数时， F(x) 必是偶函数B 当 f(x) 是偶函数时， F(x) 必是奇函数C 当 f(x) 是周期函数时， F(x) 必是周期函数D 当 f(x) 是单调增函数时， F(x) 必是单调增函数该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:A 解析：首先将原函数F(x) 表示成 f(x) 变上限的定积分，即则再令 t=一 u，则如果 f(x) 是奇函数，则因此 F(x) 是偶函数，从而知A是正确的下面分析 B，C，D的错误之处若 f(x) 是偶函数，则不能保证 F(一x)=F(x) ，B错误；关于 C，D，可通过举一些简单反例来说明，如设f(x)=sinx+1，则 F(x)=x 一 cosx+C，并非周期函数，因此排除C；又设f(x)=x ，则并非单调增函数， D也排除综上，选A解析二特殊取值排除法令 f(x)=cosx+1 ，则 F(x)=sinx+x+1时，选项 B，C和 D均可排除，故应选A 奇偶性、周期性、单调性和有界性是函数的四个基本特征本题可以延伸考查函数 f(x) 与原函数 F(x) 的性质之间的关系，对于常见的结论或反例考生应予以掌握3. (2003 年试题，二 ) 设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且则必有( ) SSS_SINGLE_SELA a nn 对任意 n 成立B b n n 对任意成立C 极限不存在D 极限不存在该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:D 解析：取，可易排除 A、B、C，故 D 4. (2010 年试题， 1)极限等于( )SSS_SINGLE_SELA l B e C e a-bD e b-a该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:C 解析：故正确答案为 C 5. (2008 年试题， 4)设函数 f(x) 在(一，+)内单调有界， x n 为数列，下列命题正确的是 ( ) SSS_SINGLE_SELA 若x n 收敛，则 f(x n ) 收敛B 若x n 单凋，则 f(x n ) 收敛C 若f(x n ) 收敛，则 x n 收敛D 若f(x n ) 单调，则 x n 收敛该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:D 解析：因为 f(x) 在实数域内单调有界若 x n 也单调，则 f(x n ) 单调有界，从而 f(x n ) 是收敛的， B选项正确解析二若是单调有界的，且 x n 是收敛于 0的，但 f(x n ) 的数值总是在 1 和一 1 之间来回变化，足不收敛的，A选项错误；若 f(x)=arctanx，x n =n，满足 C，D选项的条件，但与结果相矛盾， C ，D选项均错误故应选B6. (2007 年试题， 5)设函数 f(x) 在(0，+)上具有二阶导数，且f (x)0 ，令 u n =f(n)=1 ，2， n，则下列结论正确的是 ( ) SSS_SINGLE_SELA 若 u 1u 2，则u n 必收敛B 若 u 1u 2，则u n 必发散C 若 u 1u 2，则u n 必收敛D 若 u 1u 2，则u n 必发散该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:B 解析：因 f (x)0 ，故 f (x) 在(0 ，+)上单调递增若u 1u 2，则=f C(c1 ，2)0 ，即 n2时，必有 f (n)f C0，u n =f(n)也单调递增，且随 n 的增大， f (n) 增大，故 f(n) 增大更快，故应选D，即u n 必发散解析二举反例排除法设f(x)= 一 Inx ，满足题意，且 u 1=u 2，但lnx=一 Inn 发散，排除选项A；设 f(x)= ，满足题意，且 u 1u 2，但u n = 收敛，排除选项B；设 f(x)=x 2，满足题意，且 u 1u 2，但u n =n 2 发散，排除选项 C；故应选 D7. (2009 年试题， 1)当 x0时，f(x)=x一 sinax 与 g(x)=x 2 In(1一 bx) 为等价无穷小，则 ( ) SSS_SINGLE_SELA a=1，b=B a=1，b=C a=1,b=D a=-1,b=该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:A 解析： f(x)=x sinax 与 g(x)=X2In(1一 bx) 为等价无穷小，则有即有 a 3=一 6b 又存在，则，即 a=1，代入上式可得故正确答案为A 解析二由泰勒公式则，即有 a=1, 则 a=1，b= 故应选 A8. (2007 年试题， 1)当 x0时，与等价的无穷小量是 ( )SSS_SINGLE_SELA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:B 解析：常用的等价无穷小(当 x0时) 有：e x一 1x，In(1+x) x，则对本题 A 选项B选项C选项D选项故应选 B 掌握等价无穷小的同时，应注意其丰富多彩的变化如当x +0时，1 一 cosx到9. (2004 年试题， 1)把 x0 +时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( ) SSS_SINGLE_SELA ，B ，C ，D ，该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:B 解析：由题设，可行求出， 的一阶导数如下：显然当 x0 +时因此不足无穷小量，是二阶无穷小量为一阶无穷小量，所以 ， 分别为一阶、三阶、二阶无穷小，则按无穷小量的阶排序为， 选 B 解析二可先进行两两比较，排出次序，排除选项为C、D又，排除选项为 A故选 B 解析三求出各无穷小量关于x 的阶数，再进行比较存在且不为零，知n=1：存在且不为零，知， n=3；存在且不为零，知n=2，故综上知，应选B10. (2012 年试题，一 ) 设函数 f(x)=(e x一 1)(e 2x一 2)(e nx一 n)，其中 n 为正整数，则 f (0)=( )SSS_SINGLE_SELA ( 一 1) n-1 (n 一 1)! B ( 一 1) n (n 一 1)! C ( 一 1) n-1n ! D ( 一 1) n n! 该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:A 解析：根据题意有， x=0时， (0)=0 ，由函数在一点处导数的定义，有f (0)= 其中用到 x0时，e x一 1 一 x因此选 A11. (2007 年试题， 4)设函数 f(x) 在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )? SSS_SINGLE_SELA 若存在，则 f(0)=0 B 若存在，则 f(0)=0 C 若存在，则 f (0) 存在D 若存在，则， f (0)=0 该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:D 解析：根据选项为A的条件故选项为 A正确；根据选项为B的条件。

故选项为 B也正确；根据选项为C的条件，存在，故选项为 C也正确故综上知，正确答案为D解析二举反例设f(x)= x，则存在，但 f (0) 是不存在的， D选项错误，应选之一些常见的不可导函数，如f(x)= x-x 0在点 x=x 0处不可导，应该掌握，应用时能快速地帮助解题12. (2005 年试题， 7)设函数则 f(x) 在(一，+)内 ( )SSS_SINGLE_SELA 处处可导B 恰有一个不可导点C 恰有两个不可导点D 至少有三个不可导点该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:C 解析：此题可先求f(x) 的表达式，再结合f(x) 的函数图形求得因为根据y=f(x) 的表达式以及其函数图形(见图 121)，可以得知 f(x) 在 x=1 处不可导( 图形是尖点 ) ，所以选 C本题综合考查了数列的极限和分段函数的导数问题分段函数的导数可通过求左右导数来判断和求解，若只判断导数是否存在，可借助于函数的图像13. (2001 年试题， 3)设f(0)=0 ，则 f(x) 在点 x=0 可导的充要条件为 ( )SSS_SINGLE_SELA 存在B 存在C 存在D 存在该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:B 解析：由题设已知f(0)=0 ，则由导数定义f(x) 在 x=0 处可导的充要条件是极限存在且有限，设f (0)f (0) R 关于选项为 A。

因为只能确定 f (0+0) 存在，无法确定 f (0 0)存在，因而 A不一定成立关于选项为 B ，因而 B正确关于选项为C ，由存在不能确定是否存在，因此 C也被排除掉 . 关于选项为 D，由存在不能肯定存在，所以也就无法推出存在，综上，选 B 实际上，当 h0时，知 A和 C不正确；取, 则其在 x=0 处不可导，但排除选项为 D14. (1998 年试题， 2)函数 f(x)=(x 2一 x 一 2)x 3一 x不可导点的个数是 ( ) SSS_SINGLE_SELA 3 B 2 C 1 D 0 该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:B 解析：本题考查可导的定义，需要对每个可能不可导的点用导数定义逐一分析由题设 f(x) 中(x 2一 x 一 2) 项在全区间上可导，第二项x 3一 x有三个零点一 1，0，1，结合 4 个选项，可知 f(x) 不可导点个数最多有3 个，且 x 3一 x在除三个零点外的其他任何点处都可导，因此应按导数定义分析x=一1，x=0，x=1三点的可导性首先，又因此 f ( 一 1)=0，即 x=一 1点可导；其次，由于而因此 f (0) 不存在，即 x=0 处不可导；最后同样，由于。

而因此 f (1) 不存在，即 x=1 处不可导综上，选 B解析二利用函数 x 一 x 0在 x=x 0处不可导，而函数 (x一 x 0 ) x 一 x 0在 x=x 0处可导的结论可知， f(x)=(x 2一 x 一 2)x 3一 x=(x 一 2)(x+1) x(x 一 1)(x+1) =(x 一 2)(x+1) x+1. x. x 一1在 x=0，1 处不可导，在 x=一 1 处可导故应选B 一般来说，若F(x)=f(x)g(x) ，其中 g(x 0 )=0 ，g (x 0 ) 存在且不为零 f(x) 在 x=x 0处连续，则 F(x) 在 x=x 0处可导铮 f(x 0 )=0 15. (1999 年试题， 2)设其中 g(x) 是有界函数，则 f(x) 在 x=0处( )SSS_SINGLE_SELA 极限不存在B 极限存在，但不连续C 连续，但不可导D 可导该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案:D 解析：由题设 f(x) 为分段函数，且f(0)=0 ，在 x=0 处，因为所以 f(x) 在x=0 处连续又从而 f(x) 在 x=0 处可导，选 D16. (2006 年试题， 7)如图 1 一 22，设函数 y=f(x) 具有二阶导数，且f (x)0 ，f (x)0。